Damas y caballeros:
Si habéis hecho bien los deberes, a estas alturas conceptos como impulso específico, DeltaV, velocidad característica de misión o razón de masas no deben ya suponer problema alguno.
Vamos a ver hoy algunas variaciones de los conceptos vistos hasta ahora que complicarán un poquito más las cosas. Empecemos por el cálculo del DeltaV necesario para situarse en órbita circular mínima desde cualquier cuerpo celeste:
donde,
G = constante gravitatoria (0.00000000006673 ó 6,673e–11)
M = masa del planeta (kg)
Pr = radio del planeta (metros)
Ejemplo: calcular el DeltaV mínimo necesario para que un proyectil de vueltas a la Tierra (a "altitud cero" o disparado en horizontal desde lo alto del Everest):
Masa de la Tierra = 5,9742e+24
Radio de la Tierra = 6,378.14e+6
Luego,
es decir, 7.906 m/s (7,9 km/s).
Preguntémonos ahora, a esa velocidad, ¿cuánto tardará el proyectil en dar una vuelta a la Tierra y golpearnos la nuca?
Pues según la fórmula:
T = 2pi r / v
siendo pi = 3,1416
Tenemos que T = (6,38 x 106) / 7904 = 5072 sg., es decir, 84,5 minutos.
Fácil, ¿no?
Tomemos otro caso práctico: un satélite articifial describe una órbita en torno a la Tierra de 7.000 km de radio (unos 1.000 km de altura). ¿Qué velocidad y período de revolución tiene el satélite?. Vamos con ello:
a) Velocidad del satélite:
El satélite se mueve a 7.546 metros/s o 7,546 km/s
En cuanto al tiempo que tarda en dar una vuelta a la Tierra, con la fórmula antes vista:
T = 2pi x r / v
Tenemos que T = (6,28 x 7,e+6) / 7546 = 97,14 minutos
Vamos a ver ahora cómo se calcula la velocidad de escape de un planeta. Para ello, aplicamos la fórmula siguiente:
Os dejo a vosotros el cálculo, pero os adelanto que el resultado en el caso de la Tierra es de 11.180,80 metros por segundo (11,18 km/s).
( Por cierto, si queréis usar la calculadora científica de Windows para estos cálculos, el uso de la notación exponencial es similar al de las potencias. Supongamos que, como en la ecuación de arriba, queremos multiplicar 6,673e–11 por 5,9742e+24, hacemos lo siguiente:
1) escribimos 6,673
2) pulsamos el botón Exp
3) escribimos 11
4) cambiamos el signo con el botón ±
5) Pulsamos =
Requiere un poco de práctica pero es más cómodo que manejar montones de ceros. )
Para los más interesados en el estudio de estas y otras ecuaciones, les remito a algunas páginas web muy interesantes donde podrán encontrar (en inglés y español) explicaciones y ejemplos más detallados:
Satellites and Universal Gravitation
http://online.cctt.org/physicslab/conte ... llites.asp
Dinámica celeste (excelente sitio web, no os lo perdáis)
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celes ... yectil.htm
Orbital Mechanics (muy buena web, con abundancia de datos y gráficos, en inglés)
http://www.braeunig.us/space/orbmech.htm
Bueno, pues hasta aquí llegamos en el uso de algunas ecuaciones fundamentales de la astronáutica. Podríamos seguir enredando y complicando las explicaciones, pero creo que de momento es más que suficiente.
Quedaría, sin embargo, un conjunto de ecuaciones muy interesante que es el de aquellas que permiten preveer el comporamiento de un cohete durante el ascenso: velocidad en cada fase del vuelo, efecto de la gravedad y de la resistencia del aire, fuerza desarrollada, etc. El cálculo de todas las variables durante el lanzamiento de un cohete de varias fases o etapas es especialmente laborioso, aunque desde el punto de vista de la dificultad matemática no requiere de nada más sofisticado que una calculadora científica estándar, lápiz y papel. Hay webs en Internet de aficionados a la cohetería donde podréis encontrar mucha información, fórmulas y ejemplos. En este sentido os recomiendo la web Rocket Equations en:
http://my.execpc.com/~culp/rockets/rckt_eqn.html
parte de las ecuaciones necesarias para
determinar la altitud alcanzada por un
cohete multifase
Bien, en la próxima entrega, nos dejaremos de profundidades matemáticas y estudiaremos los dos sistemas de propulsión espacial que, de cara a viajes tripulados interplanetarios, tienen más posibilidades de llegar a ser empleados: los motores térmico-nucleares y los de plasma.
Saludos cordiales,
Cuestiones de astronáutica (3): cálculos varios
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Mensajepor Jomlop » 22 May 2005, 23:19
Si seguimos con estas lecciones de astronáutica dentro de poco podremos comenzar con un proyecto de satélite propio
Magnifico, tengo que sentarme y revisar todo esto, lo voy leyendo a saltos y siempre me interesó el tema. Además viene hasta con un cursillo de uso de la calculadore científica del Windows ¡qué completo!
Magnifico, tengo que sentarme y revisar todo esto, lo voy leyendo a saltos y siempre me interesó el tema. Además viene hasta con un cursillo de uso de la calculadore científica del Windows ¡qué completo!
"Una vez hayas probado el vuelo siempre caminarás por la Tierra con la vista mirando al cielo, porque ya has estado allí y allí siempre desearás volver" Leonardo da Vinci ¡Lo dijo 400 años antes de alguien volase!
Mensajepor Alex » 24 May 2005, 12:17
Otra fórmula equivalente, creo que mucho más sencilla, para realizar los cálculos para los lanzamientos de SAT es:
v=raiz(g.R) cuando se quiere calcular la velocidad de un supuesto proyectil a una altura 0 (es decir a nevil del mar).
v=raiz(9,81*6378000)=7910=7,91km/seg (esta velocidad es conocida internacionalmentecomo "primera velocidad cósmica").
Por la misma razón, si quieres calcular la velocidad en la orbita a una cierta altura (h) desde la superficie de la corteza terrestre:
v=raiz(g.R^2/R+h) en el ejemplo que pones;
v=raiz(9,81*6378000^2/(7000000)=7550,4 m/seg=7,55 km/seg. (especificando que el satelite orbitaria a una altura de 7000-6378=622 km
Esta velocidad es conocida como "segunda velocidad cósmica. Y si quieres puedes tambien calcularla con otra fórmula, si previamente has calculado la "primera velocidad cósmica" (velocidad que en realidad es una "constante" para las agencias espaciales, por lo que directamente proceden con:
V=v*raiz(R/(R+h)) donde V=segunda velocidad cosmica; v=primera velocidad cósmica (constante). Siguiendo con los ejemplos propuestos tendriamos V= 7,91km/seg*raiz(6378km/(6378km+622km))=7,55 km/seg
Saludos
v=raiz(g.R) cuando se quiere calcular la velocidad de un supuesto proyectil a una altura 0 (es decir a nevil del mar).
v=raiz(9,81*6378000)=7910=7,91km/seg (esta velocidad es conocida internacionalmentecomo "primera velocidad cósmica").
Por la misma razón, si quieres calcular la velocidad en la orbita a una cierta altura (h) desde la superficie de la corteza terrestre:
v=raiz(g.R^2/R+h) en el ejemplo que pones;
v=raiz(9,81*6378000^2/(7000000)=7550,4 m/seg=7,55 km/seg. (especificando que el satelite orbitaria a una altura de 7000-6378=622 km
Esta velocidad es conocida como "segunda velocidad cósmica. Y si quieres puedes tambien calcularla con otra fórmula, si previamente has calculado la "primera velocidad cósmica" (velocidad que en realidad es una "constante" para las agencias espaciales, por lo que directamente proceden con:
V=v*raiz(R/(R+h)) donde V=segunda velocidad cosmica; v=primera velocidad cósmica (constante). Siguiendo con los ejemplos propuestos tendriamos V= 7,91km/seg*raiz(6378km/(6378km+622km))=7,55 km/seg
Saludos
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Mensajepor Telescopio » 24 May 2005, 13:03
Alex escribió:Otra fórmula equivalente, creo que mucho más sencilla, para realizar los cálculos para los lanzamientos de SAT es:
v=raiz(g.R) cuando se quiere calcular la velocidad de un supuesto proyectil a una altura 0 (es decir a nevil del mar).
v=raiz(9,81*6378000)=7910=7,91km/seg (esta velocidad es conocida internacionalmentecomo "primera velocidad cósmica").
Por la misma razón, si quieres calcular la velocidad en la orbita a una cierta altura (h) desde la superficie de la corteza terrestre:
v=raiz(g.R^2/R+h) en el ejemplo que pones;
v=raiz(9,81*6378000^2/(7000000)=7550,4 m/seg=7,55 km/seg. (especificando que el satelite orbitaria a una altura de 7000-6378=622 km
Esta velocidad es conocida como "segunda velocidad cósmica. Y si quieres puedes tambien calcularla con otra fórmula, si previamente has calculado la "primera velocidad cósmica" (velocidad que en realidad es una "constante" para las agencias espaciales, por lo que directamente proceden con:
V=v*raiz(R/(R+h)) donde V=segunda velocidad cosmica; v=primera velocidad cósmica (constante). Siguiendo con los ejemplos propuestos tendriamos V= 7,91km/seg*raiz(6378km/(6378km+622km))=7,55 km/seg
Saludos
Sí, tienes razón. Debería haber mencionado lo de las velocidades cósmicas, pero bueno... creo que con tu post queda muy bien aclarado. Puestos a no hablar, tampoco he citado a Kepler y es fundamental para entender el movimiento orbital.
De todas formas, recomiendo a los más interesados que visiten las webs señaladas en mi post. Encontrán muchísima información y podrán estar haciendo cálculos -ya con la calculadora de Windows, ya con un ábaco (los más hábiles)- muchas, pero muchas horas.
Saludos
Mensajepor Alex » 26 May 2005, 12:03
Saludos. Telescopio he intentado leer los links pero estan en inglés por lo que desisto del intento.
Complementando tu interesante post sobre las velociades mínimas que habria que alcanzar en el lanzamiento de un SAT, (y ante tu anuncio de no incidir mas sobre este tema) podríamos añadir algo más, teniendo en cuenta que en la práctica ninguna agencia espacial se atrevería a poner en órbita un SAT con la velocidad mínima circular. Siguiendo con tu ejemplo, se ve que para que un SAT se ponga en órbita a 622 km. de la superficie terrestre haría falta una velocidad mínima de 7,55 Km/seg en el momento que el SAT cambia su dirección y se pone perpendicular al radio ascendente (entra en órbita) exactamente a 622 km de altura,(si se dan estas condiciones la órbita sería circular) pero tendriamos que tener en cuenta otra relación fundamental para saber que pasaría si: o no se alcanza la altura que deseamos o que la velocidad en ese momento no sea la mínima de 7.55 km/seg (si es muy inferior el SAT caerá a tierra antes de completar una vuelta). Esta relación es:
V^2=G.m(2/r - 1/a) donde V=velocidad en el momento de entrada en la órbita; m=masa de la tierra; r=altura de la órbita (en nuestro ejemplo 622 km); a=semieje de la órbita del SAT en el caso en que la velocidad de entrada en órbita no sea la velocidad circular (7,55 km/seg calculados.)
Se da por supuesto y por sabido que:
Si V es igual a la Velocidad circular en la altura dada(h), la órbita será circular
Si V es superior a la Velocidad circular, la órbita será una elipse donde, además, el perigeo se encontrará en el punto de entrada en la órbita
Si V es algo (muy poco) inferior a la Velocidad circular, la órbita será una elipse pero en esta ocasión el punto de entrada en la órbita sería el apogeo (este satelite terminaría callendo a la tierra)
Si V es inferior a la circular, el satelite no completará ninguna vuelta.
Calculado "a" ya por la tercera ley de Kepler podriamos obtener el periodo T, mediante T=(2pi. a^3/2) /(raiz(G.m)) o si es menos complicado (por evitar G y m) podriamos sustituirla por T=(2pi.a^3/2)/(r.raiz(g)).
Por último calcularíamos la excentrididad (e) de la órbita elíptica (caso mas que probable para todas las órbitas de los SAT)
e=1-(q/a) donde q=distancia del perigeo; a=semieje mayor de la orbita (calculado anteriormente)
Más saludos...
Complementando tu interesante post sobre las velociades mínimas que habria que alcanzar en el lanzamiento de un SAT, (y ante tu anuncio de no incidir mas sobre este tema) podríamos añadir algo más, teniendo en cuenta que en la práctica ninguna agencia espacial se atrevería a poner en órbita un SAT con la velocidad mínima circular. Siguiendo con tu ejemplo, se ve que para que un SAT se ponga en órbita a 622 km. de la superficie terrestre haría falta una velocidad mínima de 7,55 Km/seg en el momento que el SAT cambia su dirección y se pone perpendicular al radio ascendente (entra en órbita) exactamente a 622 km de altura,(si se dan estas condiciones la órbita sería circular) pero tendriamos que tener en cuenta otra relación fundamental para saber que pasaría si: o no se alcanza la altura que deseamos o que la velocidad en ese momento no sea la mínima de 7.55 km/seg (si es muy inferior el SAT caerá a tierra antes de completar una vuelta). Esta relación es:
V^2=G.m(2/r - 1/a) donde V=velocidad en el momento de entrada en la órbita; m=masa de la tierra; r=altura de la órbita (en nuestro ejemplo 622 km); a=semieje de la órbita del SAT en el caso en que la velocidad de entrada en órbita no sea la velocidad circular (7,55 km/seg calculados.)
Se da por supuesto y por sabido que:
Si V es igual a la Velocidad circular en la altura dada(h), la órbita será circular
Si V es superior a la Velocidad circular, la órbita será una elipse donde, además, el perigeo se encontrará en el punto de entrada en la órbita
Si V es algo (muy poco) inferior a la Velocidad circular, la órbita será una elipse pero en esta ocasión el punto de entrada en la órbita sería el apogeo (este satelite terminaría callendo a la tierra)
Si V es inferior a la circular, el satelite no completará ninguna vuelta.
Calculado "a" ya por la tercera ley de Kepler podriamos obtener el periodo T, mediante T=(2pi. a^3/2) /(raiz(G.m)) o si es menos complicado (por evitar G y m) podriamos sustituirla por T=(2pi.a^3/2)/(r.raiz(g)).
Por último calcularíamos la excentrididad (e) de la órbita elíptica (caso mas que probable para todas las órbitas de los SAT)
e=1-(q/a) donde q=distancia del perigeo; a=semieje mayor de la orbita (calculado anteriormente)
Más saludos...
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Mensajepor Telescopio » 26 May 2005, 13:28
Alex escribió:Saludos. Telescopio he intentado leer los links pero estan en inglés por lo que desisto del intento.
Complementando tu interesante post sobre las velociades mínimas que habria que alcanzar en el lanzamiento de un SAT, (y ante tu anuncio de no incidir mas sobre este tema) podríamos añadir algo más, teniendo en cuenta que en la práctica ninguna agencia espacial se atrevería a poner en órbita un SAT con la velocidad mínima circular. Siguiendo con tu ejemplo, se ve que para que un SAT se ponga en órbita a 622 km. de la superficie terrestre haría falta una velocidad mínima de 7,55 Km/seg en el momento que el SAT cambia su dirección y se pone perpendicular al radio ascendente (entra en órbita) exactamente a 622 km de altura,(si se dan estas condiciones la órbita sería circular) pero tendriamos que tener en cuenta otra relación fundamental para saber que pasaría si: o no se alcanza la altura que deseamos o que la velocidad en ese momento no sea la mínima de 7.55 km/seg (si es muy inferior el SAT caerá a tierra antes de completar una vuelta). Esta relación es:
V^2=G.m(2/r - 1/a) donde V=velocidad en el momento de entrada en la órbita; m=masa de la tierra; r=altura de la órbita (en nuestro ejemplo 622 km); a=semieje de la órbita del SAT en el caso en que la velocidad de entrada en órbita no sea la velocidad circular (7,55 km/seg calculados.)
Se da por supuesto y por sabido que:
Si V es igual a la Velocidad circular en la altura dada(h), la órbita será circular
Si V es superior a la Velocidad circular, la órbita será una elipse donde, además, el perigeo se encontrará en el punto de entrada en la órbita
Si V es algo (muy poco) inferior a la Velocidad circular, la órbita será una elipse pero en esta ocasión el punto de entrada en la órbita sería el apogeo (este satelite terminaría callendo a la tierra)
Si V es inferior a la circular, el satelite no completará ninguna vuelta.
Calculado "a" ya por la tercera ley de Kepler podriamos obtener el periodo T, mediante T=(2pi. a^3/2) /(raiz(G.m)) o si es menos complicado (por evitar G y m) podriamos sustituirla por T=(2pi.a^3/2)/(r.raiz(g)).
Por último calcularíamos la excentrididad (e) de la órbita elíptica (caso mas que probable para todas las órbitas de los SAT)
e=1-(q/a) donde q=distancia del perigeo; a=semieje mayor de la orbita (calculado anteriormente)
Más saludos...
Excelentes precisiones. Creo que si al final los responsables de la web deciden conservar estos post en un FAQ o algo parecido, habrá que incluirlas en un anexo. Sólo habría que coger el generador de ecuaciones de Word y ponerlas de forma gráfica.
Saludos
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Patricio Domínguez Alonso fue un paleontólogo español, gran amante de la Astronomía y Divulgador Científico.
Doctor en Ciencias Biológicas (1999) y especialista en Biología Evolutiva fue profesor de Paleontología en la Facultad de Ciencias Geológicas de la UCM. Miembro del Instituto de Geociencias (CSIC-UCM) desde su creación, estaba integrado en la línea de Investigación del Centro “Episodios críticos en la historia de la Tierra”.
Su trabajo de investigación se centró en el origen de los vertebrados, evolución temprana de aves y estudios sobre el cuaternario en el Caúcaso. Para ello desarrolló estancias de investigación en Reino Unido, Estados Unidos, Brasil, Armenia, China y Honduras (Fte. Wikipedia)
Como aficionado a la Astronomía, desde 2008 fue Presidente de la Asociación Astronómica AstroHenares y socio destacado de la Asociación Astronómica Hubble. Desde 2005 y durante 8 años fue moderador activo y permanente de este foro, convirtiéndose en el usuario más prolífico del mismo y en uno de los garantes de su buen funcionamiento.
Con el apoyo de la Asociación Hubble y la difusión del foro, organizó algunas de las reuniones de aficionados a la Astronomía más importantes de España, como la de Navas de Estena en los Montes de Toledo, conocida como “AstroArbacia”.
Podemos afirmar sin temor a equivocarnos que su pérdida inició el declive del foro allá por 2013. Por eso, tras su renovación queremos rendir homenaje desde la Asociación Hubble a su figura como aficionado a la Astronomía, como persona y como gran amigo de los administradores, moderadores y muchos de los usuarios del foro, a los que siempre ayudaba con agrado y sabiduría en multitud de temas.
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