Movimiento Armónico

[inavarro88]

Hola!
Necesito una ayudita de alguien que entienda un poco de mecánica y ec diferenciales. Resulta que estoy empezando con el Sr Lagrange y haciendo este problema (la polea tiene masa despreciable):

Y resulta que en la ecuación diferencial para describir el movimiento me sale la típica forma de movimiento armónico pero con un término independiente. ¿Existe algún tipo de MA que tenga esta forma o debo revisar tooodo el problema de nuevo?

Gracias!

[rcacho]

Ese término independiente imagino que estará relacionado con la fase. Tal y como planteas el problema, no hay condiciones iniciales. Si las tuvieras ese término tendría un valor. Si pudieras especificar mas quiza te pueda ayudar algo mejor.

un saludo

[HAL9000]

Efectivamente, creo que debería quedarte una ec de 2º orden:

(m1+m2)*x''+K*x-m1*g*sen(alpha)=0

con x'' = aceleración en la coord generalizada x (alargamiento del muelle)

No se si ya has dado ecs. diferenciales, si no es así te lo resumo MUY brevemente:

-La solución se descompone en una parte que se dice Homogénea y otra que se dice Particular. Es decir, que si x(t) es la función solución a tu problema se puede escribir como:

x(t)=x_homog(t) + x_partic(t)

La parte homogénea es la que corresponde a resolver el problema como si no hubiera término independiente, es decir como si tu ec. diferencial fuera:

(m1+m2)*x''+K*x=0

Te quedaría una solución homogénea:

x_homog(t) = A*sen( (K/(m1+m2))^1/2 * t + fi_0)

En las que la amplitud A y el desfase fi_0 dependen de las condiciones iniciales.

La parte particular de la solución se resuelve conociendo también las condiciones iniciales del problema. Por ejemplo si sabemos que antes de perturbar el sistema éste se encuentra en equilibrio tenemos que a t=0 la elongación del muelle es la del equilibrio estático:

x(t)= x_homog(t)+x_partic(t) =
= A*sen( (K/(m1+m2))^1/2 * 0 + fi_0) + x_partic(0) = 0

Bastaría ahora con despejar x_partic.

El caso es que tomando con picardía el nivel de referencia respecto del cual piensas medir la energía potencial gravitatoria, simplemenete puedes prescindir de este término particular. En este caso la elección es clara, tomarás referencias de alturas para la energía potencial gravitatoria respecto del punto de equilibrio de la masa 1.

Básicamente resulta algo así: para describir el movimiento armónico de te sistema te da igual el plano inclinado, la frecuencia de tus oscilaciones será la misma que si las masas estuvieran sobre un plano horizontal, lo que cambia es la posición de equilibrio (con las masas en un plano horizontal la posición de equlibrio es x=0, con el plano inclinadoes x=m1*g/K*sen(alpha) ) Lo único que te aporta el término independiente es un valor "extra" constante de desplazamiento.

Espero que te haya servido de ayuda.

[HAL9000]

Hola de nuevo inavarro88:

He resuelto numéricamente la ec diferencial (con un programita que tenía hecho que resuelve sistemas de ecs. diferenciales por el método de Runge-Kutta) y esta es la salida:



Los datos de "rigidez" del problema que he metido son:
m1=0.3 kg
m2=1.0 kg
K=100 N/m
g=9.81 m/s^2

Y las condiciones iniciales:
x(t=0) = -0.1
x'(t=0) = 0.0

y he resuelto para
alpha=0º
alpha=30º

Como puedes ver, ambos sistemas tienen la misma frecuencia (o periodo, o pulsación etc.). Pero el del plano inclinado tiene mayor desplazamiento, el correspondiente a la deformación del muelle que deja el sistema en equilibrio estático.

Es decir, con los valores que he dado, la posición de equilibrio del sistema está en:

alpha=0 ---> x_equil=0 (lógico ¿no?)
alpha=30 ---> x_equil=0.049=0.05 (operando en la expresión de mi post anterior)

Como puedes ver el sistema oscila siempre en torno a la posición de equilibrio tanto como lo he "desequilibrado" con las condiciones iniciales:

alpha=0 ---> amplitud=x_ini - x_equil= -0.1 - 0 = 0.1
alpha=30 ---> amplitud=x_ini - x_equil= -0.1 - 0.049 = 0.149 = 0.15

Si en vez de imponer como condiciones iniciales el alargamiento del muelle hubiese impuesto la velocidad de las masas, la amplitud de ambos sistemas sería la misma.

Un saludo y espero no haberte liado más.

[Guest]

¿Y el rozamiento?. Saludos del Abuelo.

[rcacho]

El rozamiento actuaria como una onda amortiguadora, con un termino del tipo exp(-wt), siendo w la frecuencia y t el tiempo.

[Guest]

Pues otra sería la inercia. ¿Incordio?.

Saludos del Abuelo.

[inavarro88]

Gracias!
Con las ecuaciones lineales estoy empezando este cuatrimestre así que gracias Hal por semejante lección Lo de la solución para no homogéneas no lo sabía, pero por como me lo dices creo que tiene relación con eso de que la solución de un sistema de ecuaciones es la suma de la solución del Kerf más otra particular ¿Acabo de derrapar?
Bueno, a lo que iba. Mi ecuación para describir el movimiento es

para las magnitudes expresadas en el dibujo. (Ya ven que como no sean nebulosas para difuminar con el dedo no es lo mio )

Como coordenada generalizada cogí S, por lo que eso puede haber introducido ese término de más que me sale en la ecuación.
Por lo demás, muchas gracias por toda la info y por los resultados esos que muestras, gran programa por cierto!
Solo una cosa más, ¿A qué se debe lo que comentas de que al imponer la velocidad de las masas la amplitud sea igual?

Saludos a los tres!

[HAL9000]

Hola Carlos:

No, no incordias en absoluto.

Me imagino que cuando preguntas por la inercia te refieres a la inercia de rotación de la polea (la inercia de las masas en movimiento ya está contemplada en la formulación del problema).

Bueno, el enunciado de inavarro88 decía explícitamente que se despreciara la masa de la polea, lo que quiere decir que no tiene inercia de rotación.

Si la tuviera la cosa no sería mucho más diferente. La energía cinética del sistema debería tener en cuenta el nuevo cuerpo en rotación y quedaría:

T=1/2*x'^2*(m1+m2)+1/2*I*(x'/R)^2

Siendo el término en negrita el correspondiente a la rotación de la polea.
I=momento de inercia de la polea.
R=radio de la polea.

La energía potencial no varía y sigue siendo:

V=1/2*K*x^2-m*g*x*sen(alpha)

La función lagrangiana (L=T-V) queda:

L=1/2*x'^2*(m1+m2)+1/2*I*(x'/R)^2-1/2*K*x^2+m*g*sen(alpha)

Derivando según la formulación de Lagrange:
d/dt( d_p/dq_i'(L) ) - d_p/dq_i(L) = 0

nos queda la ec. diferencial:

( m1+m2+I/(R^2) )*x'' + K*x - m*g*sen(alpha) = 0

Que se resuelve de forma parecida a como comentamos antes.

El efecto de incluir inercia en la polea, comaparándolo al sistema sin inercia en la misma, sería una reducción en la frecuencia de oscilación (o aumento del periodo que es lo mismo).

Resolviendo el problema con el método numérico que comenté antes y manteniendo las mismas condiciones iniciales tendríamos:



Jarl... he puesto al revés los títulos. El sistema con más periodo (el rojo) es el que tiene inercia en la polea.

He considerado una polea de 1 kg y radio 0.5 m (que da un momento de inercia I=0.0625 kg*m^2 y que es un peazo poleón). Una polea más acorde con la geometría del problema con mucha menos masa y menos radio es del todo despreciable.

Espero haberte contestado. Un saludo agüelo.

[HAL9000]

Hola de nuevo inavarro:

Estaba contestando a carlos y has aparecido de nuevo.

Con respecto a lo del Ker, pues francamente no me acuerdo en absoluto (eso era el corazón ¿no?). Suena bien, por eso de que el corazón eran los elementos que se transformaban en cero ¿no?, pero chico, no tengo ni idea.

Con respecto a lo de la velocidad si que me siento más en disposición de contestarte:

Cuando impones las condiciones iniciales del sistema puedes imponer, desplazamiento inicial, velocidad inicial o ambas.
Lo que pretendía decirte es que ambos sistemas (con y sin plano inclinado) se mueven igual (misma frecuencia y misma amplitud) si a ambos les impones la misma velocidad inicial y ambos parten de la posición de equilibrio estático.

Un muelle en vertical con una masa colgando vibra igual haya o no haya gravedad, es una particularidad del mecanismo, su frecuencia es un valor propio y solo depende de la rigidez del sistema, es decir de la rigidez del muelle y de los valores de las masas.

Pensando en términos mecánicos (la interpretación física es lo más importante) se puede argumentar que, como ambos sistemas van a partir de la posición de equilibrio estático y yo soy muy libre de elegir la referencia de energía potencial gravitatoria que me de la gana, pues elijo que en reposo tengan energía potencial gravitatoria 0.

Ahora vamos a imponer a ambos sistemas una velocidad (a ambos la misma velocidad ¡eh!), con lo cual estamos dotando a ambos sistemas de la misma energía cinética, y como la potencial es 0, pues resulta que ambos sistemas tienen la misma energía total.

Por los teoremas de "no hay más cera que la que arde" y "donde sacan y no meten buscan y no hallan", pues resulta que los dos sistemas tienen que llegar igual de lejos en sus movimientos (amplitud), porque tienen la misma energía para consumir (transformar en potencial) durante su desplazamiento.

Espero haberte aclarado un poco el tema.

Un saludo.