Principio de Mach

[Guest]

Se me ha ocurrido, que si no nos vemos la espalda mientras miramos al Cosmos, pudiera ser por cuanto los fotones no hayan tenido tiempo aún de recorrer este espacio-curvo. O sea que deberíamos esperar más de 15 mil millones de años, y al fin conoceríamos el diámetro verdadero.

Claro que será otro observador en su día quien lo vea.

Nada. A esperar. Y lo más fácil, que la Tierra sea polvo estelar.

Saludos del Abuelo.

[alshain]

Muchas gracias por la informaciópn Alshain, mi formación se quedó en la física newtoniana y relatividad especial solo para resolver problemillas típicos.

Esto que me comentas del arrastre de sistemas de referencia me resulta tremendamente interesante ¿Me podrías recomendar alguna lectura para iniciarme en ello? no me importa que requiera pegarse duro con las matemáticas o dedicarle un buen esfuerzo.

De nuevo gracias por compartir tu conocimiento

La mejor referencia que conozco para entender esto es el libro de Schutz "A first course in general relativity", en la sección de agujeros negros donde dedica varias páginas a la solución de Kerr y explica el efecto de Lense-Thirring, que es el nombre de ese arrastre de sistemas. No solo para eso, sino que también para aprender relatividad general como dios manda, se trata de un libro ideal, claro y pedagógico, que introduce las nociones matemáticas a medida que se van necesitando de forma muy intuitiva. Esto es lo que puedo recomendar como referencia ideal para entrar en el tema, porque es un libro que poseo y que consulto con placer. Si no quieres o no puedes adquirir el libro, coméntamelo, que echaré una ojeada a ver qué hay en la red sobre el tema.

Un saludo.

[m3ntol]

Muchas gracias!!
en cuanto pueda me haré con uno.

[Rafa]

Consideremos el siguiente experimento mental.

Un grupo de científicos parte en una nave-cohete de propulsión a chorro con destino a la estrella Próxima Centauri, que está a 4 años-luz del nosotros. El cohete dispone de una gran cantidad de combustible y su motor impulsa los gases siempre con la misma velocidad. Como se sabe, el conjunto formado por los gases de la combustión y el cohete mismo forman un sistema aislado, de forma que la cantidad de movimiento de este sistema no varía. Por lo tanto, en cada instante, la cantidad de movimiento de los gases expulsados hacia atrás es igual a la cantidad de movimiento que adquiere el cohete hacia delante, lo cual supone que el cohete experimenta una fuerza constante hacia delante.

En el despegue, el rendimiento del motor es bajo, pues toda la energía se emplea en separarse lentamente del suelo, venciendo la gravedad. El cohete asciende muy despacio mientras los gases del chorro propulsor van acelerándolo lentamente y el cohete va ganando altura, hasta que abandona la atmósfera.

El cohete sigue acelerando y al cabo de un tiempo supera la velocidad de escape de la Tierra para la altura a que se encuentra, lo cual significa que aún sin emplear el motor, el cohete seguiría subiendo indefinidamente. Pero los ocupantes no lo desconectan y el cohete sigue acelerando y alejándose más y más de la Tierra, cada vez a mayor velocidad. Supongamos que el cohete abandona el sistema solar, y se interna en el espacio interestelar.

Supongamos que el cohete se encuentra ya muy lejos de la Tierra, por ejemplo a mitad de distancia del Sol y de Próxima Centauro. Los ocupantes desconectan el motor y el cohete sigue su curso a velocidad constante, con lo cual los ocupantes comienzan a flotar dentro de la cabina, junto con todos los objetos a su alrededor, como los astronautas en gravedad cero.

Si conectan el motor, el cohete es acelerado de nuevo y los ocupantes experimentan una fuerza que los hace caer sobre el suelo de la cabina, es decir, hacia la base del cohete.

Según el Principio de Equivalencia de Einstein, cuando un cuerpo es acelerado aparece un campo de fuerzas a su alrededor que, según el sistema de referencia elegido, puede considerarse, bien como un campo de fuerzas inerciales o como un campo gravitatorio. Más concretamente:

A) Si tomamos como sistema de referencia el mismo cuerpo acelerado, aparecen fuerzas gravitatorias que afectan a todos los cuerpos exteriores a él.

B) Si tomamos como sistema de referencia un objeto exterior al cuerpo acelerado, aparecen fuerzas inerciales en el cuerpo acelerado.

La interpretación A es extraña, porque implica que la aceleración de un cuerpo afecta a todo el Universo. La interpretación B parece más natural y más evidente. Sin embargo, puede ser también extraña si no disponemos de objetos próximos para usar como sistema de referencia. En este caso habría que usar como sistema de referencia el Universo mismo, es decir, la totalidad de los objetos del mismo, como estrellas y galaxias lejanas. Resulta entonces que la fuerza inercial que experimenta el cuerpo acelerado es debida a la presencia de estas estrellas y galaxias. Si estas no existieran, no podría hablarse de aceleración ni de fuerzas inerciales. En este sentido, puede considerarse que el espacio en sí mismo tiene un carácter de cuerpo de referencia absoluto y omnipresente, y que además está generado por la presencia de toda la materia del Universo. Esto es lo que dice el Principio de Mach.

Volvamos al caso del cohete situado en el espacio interestelar, lejos de influencias gravitatorias.

Según la interpretación A, cuando se enciende el motor del cohete, éste no se mueve. Lo que ocurre es que los ocupantes “caen” hacia el suelo de la cabina y ven “caer” todos los demás objetos situados en la cabina. Pero también ven “caer” en la misma dirección cualquier objeto exterior al cohete. Extendiendo este razonamiento, todo el Universo “cae” en la misma dirección. La conclusión extraña es que este campo gravitatorio que afecta a todo el Universo está producido por el motor del cohete a base de la energía del combustible. Esto me parece completamente absurdo y rechazable.

Según la interpretación B, cuando se enciende el motor del cohete, la totalidad del Universo, permanece quieto. Sólo el cohete es acelerado y experimenta por ello una fuerza inercial. El hecho de considerar como sistema de referencia la totalidad del Universo, o subsidiariamente el propio espacio, también me parece absurdo y rechazable.

El carácter extraño de estas dos interpretaciones quizás sea debido a algún error conceptual por mi parte. O bien a que no es lícito incluir en los razonamientos, conceptos tales como “la totalidad de cuerpos del Universo”, es decir, el concepto de infinito, por ser delicado y engañoso.

Me surge ahora una pregunta:

Si el combustible no se agota, ¿qué valor máximo puede alcanzar la velocidad del cohete? Esta pregunta parece fácil de contestar. Einstein nos dice que la máxima velocidad alcanzable por el cohete es “c” para cualquier sistema de referencia. Por lo tanto, el cohete puede llegar a viajar a una velocidad próxima a la de la luz. Pero su aceleración se irá reduciendo a medida que la velocidad se acerque al valor “c”. ¿Se darán cuenta de ello los ocupantes?

Un saludo muy cordial
Rafael

[alshain]

Según el Principio de Equivalencia de Einstein, cuando un cuerpo es acelerado aparece un campo de fuerzas a su alrededor que, según el sistema de referencia elegido, puede considerarse, bien como un campo de fuerzas inerciales o como un campo gravitatorio. Más concretamente:

A) Si tomamos como sistema de referencia el mismo cuerpo acelerado, aparecen fuerzas gravitatorias que afectan a todos los cuerpos exteriores a él.

B) Si tomamos como sistema de referencia un objeto exterior al cuerpo acelerado, aparecen fuerzas inerciales en el cuerpo acelerado.

El que siente la fuerza es el observador acelerado, pero no los cuerpos celestes. Estos no sienten ninguna fuerza en el caso de que el acelerado sea el observador.

Quizás estás intentando interpretar la aceleración en términos del principio de Mach. Pero entonces creo que la forma de plantearlo es la siguiente: debe haber una equivalencia en la descripción física para ambos casos, la aceleración del observador y la aceleración del universo.

Fíjate que en el caso del giro es igual: se postula una equivalencia descriptiva entre ambas situaciones, que son que gire el cubo con agua en él, o que gire el universo y el cubo quede quieto. El fenómeno físico, es decir, el hecho que sea el agua la que sufre una fuerza y escale por las paredes del cubo adquiriéndo una forma cóncava, no se ve afectado por las dos diferentes descripciones.

Volviendo al caso de la aceleración: la fuerza la sufre el observador acelerado. Creo que en el marco del principio de Mach, lo que se postula es que esa fuerza puede aparecer o bien porque el observador acelerado acelera, o bien porque este está quieto y lo que acelera es todo el universo. Este último escenario, por tanto, debería dar lugar a la fuerza sobre el observador y no a otra u otras.

Un saludo.

[Rafa]

Gracias por contestar, alshain.

Quizás estás intentando interpretar la aceleración en términos del principio de Mach. Pero entonces creo que la forma de plantearlo es la siguiente: debe haber una equivalencia en la descripción física para ambos casos, la aceleración del observador y la aceleración del universo.

Yo más bien estaba analizando el experimento mental de Einstein que describe una caja del tamaño de una habitación, con un gancho en la tapa de la caja y el ser de cualquier naturaleza que tira del gancho y acelera la caja. El científico que está dentro de la caja no puede distinguir si la caja está siendo acelerada o se encuentra en reposo suspendida en un campo gravitatorio. Si considera esta segunda posibilidad, todos los objetos que no son la caja sienten una aceleración ("caen"), entre ellos, el científico mismo, que debe usar sus piernas para permanecer de pie. Desde su punto de vista, todos los demás objetos, tanto interiores como exteriores a la caja, sufren una aceleración hacia abajo. Por lo tanto, todo el Universo es acelerado gracias a la acción del ser que tira de la caja (en mi ejemplo, el motor del cohete).

En esta descripción me falla algo, porque no es posible esto último. ¿Estoy equivocado?

Un saludo.

[alshain]

Creo que el problema en tu razonamiento es pensar que el principio de equivalencia es un enunciado sobre la cinemática de los cuerpos, cuando realmente es un enunciado sobre su dinámica.

En este universo nos ocurre una cosa curiosa: no podemos saber si nos movemos con velocidad constante respecto de un objeto, o si ese objeto se mueve con velocidad constante respecto de nosotros, sin embargo, somos capaces de determinar de forma absoluta si somos afectados por variaciones de la velocidad. Para ello podemos medir fuerzas, ya que estas están siempre asociadas a aceleraciones.

Si yo acelero respecto del objeto, entonces el acelerado soy yo, pero no el objeto. El objeto o un observador en él no son capaces de medir variaciones de velocidad propias de forma local. Esas variaciones de velocidad del objeto puedo medirlas yo de forma meramente cinemática observando la trayectoria del objeto en el universo. Puedo concluir yo que el objeto acelera, pero rápidamente me daré cuenta que tal descripción es dinámicamente incorrecta, ya que como la fuerza que acelera actúa sobre mí sentiré que yo soy el que está siendo acelerado y no el objeto realmente. Es decir, yo sí puedo medir variaciones de velocidad propias debido a la fuerza que siento y mido. El observador en el objeto no sentirá eso nunca.

No sé si me explico.

Un saludo.

[Guest]

Rafa dijo:
......B) Si tomamos como sistema de referencia un objeto exterior al cuerpo acelerado, aparecen fuerzas inerciales en el cuerpo acelerado.

La interpretación A es extraña, porque implica que la aceleración de un cuerpo afecta a todo el Universo. La interpretación B parece más natural y más evidente. Sin embargo, puede ser también extraña si no disponemos de objetos próximos para usar como sistema de referencia. En este caso habría que usar como sistema de referencia el Universo mismo, es decir, la totalidad de los objetos del mismo, como estrellas y galaxias lejanas. Resulta entonces que la fuerza inercial que experimenta el cuerpo acelerado es debida a la presencia de estas estrellas y galaxias. Si estas no existieran, no podría hablarse de aceleración ni de fuerzas inerciales. En este sentido, puede considerarse que el espacio en sí mismo tiene un carácter de cuerpo de referencia absoluto y omnipresente, y que además está generado por la presencia de toda la materia del Universo. Esto es lo que dice el Principio de Mach.
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La explicación de alshain, diáfana, creo que nos satisface.
Lo que quiero expresar según mi parecer, es que el fallo que barrunta Rafa, consiste en no considerar que el movimiento del cohete, reacción al efecto de los gases , debe situarse al sistema de referencia principal, que es el de estos dos elementos, el cohete y sus gases, no el del Universo.

Si meto la pata por mis eternas simplificaciones, pido disculpas adelantadas.

Saludos del Abuelo.

[Rafa]

Gracias, alshain y carlos por vuestros comentarios. Da gusto tener personas que leen tus cosas y amablemente contestan.

Ya veo. La cosa no es tan sencilla como yo la había pensado. Efectivamente, en el caso de sistemas inerciales. cualquiera de ellos puede considerarse en reposo. Yo creía que con la Relatividad General, Einstein había ampliado esta afirmación también a los sistemas acelerados, de forma que si un cuerpo de referencia sufría una aceleración, podía considerarse en reposo pero en presencia de un efecto gravitatorio (o de curvatura local del espacio-tiempo). De ahí mi razonamiento de considerar el cohete acelerado como un sistema de referencia en reposo.

Lo que no consideré es que la aceleración de un cuerpo es consecuencia de una fuerza ejercida sobre el cuerpo y sólo sobre él.

Considero que el tema de la aceleración (punto A de mi anterior escrito) está suficientemente aclarado. Gracias de nuevo.

No así el Principio de Mach (punto B), según el cual la fuerza de inercia del cohete acelerado es causada por el resto del Universo. Dada la lejanía de las galaxias, me parece que el resto del Universo poco puede influir en la marcha de un cohete.

Otro tema que vuelvo a plantear es: si el cohete acelerase indefinidamente, ¿qué velocidad podría alcanzar? Notarían los pasajeros algún cambio en su entorno al acercarse a la velocidad de la luz? Habría algún cambio en los experimentos realizados dentro del cohete?

Un saludo
Rafael

[alshain]

No así el Principio de Mach (punto B), según el cual la fuerza de inercia del cohete acelerado es causada por el resto del Universo. Dada la lejanía de las galaxias, me parece que el resto del Universo poco puede influir en la marcha de un cohete.

No está claro eso. Las galaxias están muy lejos, pero la masa total que conforman es colosal. No tengo muy claro cómo cuantificarlo, pero creo que la relatividad geneneral también proporciona una implementación del principio de Mach aquí. Concrétamente, en la relación de dispersión (que relaciona energía y momento de una partícula). En un espacio-tiempo de Minkowski vale - n^{uv} p_u p_v = m^2, la cual, como p_0 = E, se traduce en E² - p² = m² y proporciona una definición de masa. Para un espacio-tiempo general debe incluir a la métrica g^{uv} en vez de la métrica plana n^{uv}, y con ello la definición de masa debe incluir la influencia de las masas circundantes a la "forma" del espacio-tiempo en el punto en el cual se encuentra.

Un saludo.