La cuarta dimensión

[Rafa]

Hola, algo que me obsesiona últimamente es tratar de imaginar la cuarta dimensión. No me refiero al espacio-tiempo donde la cuarta dimensión sería el tiempo, sino a cuatro dimensiones espaciales. ¿Sería posible imaginar un espacio de 4 dimensiones?

Buscando en el maravilloso mundo de Google he encontrado entre otras cosas este artículo:

http://www.dimensions-math.org/Dim_CH1_ES.htm

que es muy interesante por las descripciones que hace sobre curiosidades matemáticas, en especial referidas a las dimensiones en geometría.

Pero yo aspiro a imaginar un espacio de 4 dimensiones que contenga entidades o subespacios de 3 dimensiones de la misma manera que en un espacio de 3 dimensiones existen entidades o subespacios de 2 dimensiones como la superficie de una esfera o de un elipsoide.

Ved la siguiente tabla:

------ESPACIO---------Dim.-------SUBESPACIO------Dim.
E1----Recta------------1-----------Punto-----------------0
E2----Plano-------------2----------Línea (curva)---------1
E3----Espacio----------3----------Superficie (curva)---2
E4----Hiperespacio---4-----------Volumen (curvo)----3

¿Sería posible imaginar un volúmen curvo?

Matemáticamente sí, porque tendría una ecuación análoga a la ecuación de una linea o de una superficie, sólo que con 4 variables. Por ejemplo un volumen curvo podría ser una hiperesfera:

x2 + y2 + z2 + w2 = R2

donde x, y, z, w son las variables dentro de E4 y R es el radio de la hiperesfera. Lo difícil es imaginarse la hiperesfera vista desde E4.

Dentro de un cuerpo de este tipo necesitaríamos 3 coordenadas espaciales para determinar sus puntos, como es el caso en nuestro espacio habitual, pero este cuerpo de 3 dimensiones tendría forma y límites. Desde dentro de él no podrían verse ni la forma ni los límites.

¿Será nuestro Universo una de las infinitas hiperesferas que un hipotético Hiperuniverso de cuatro dimensiones podría contener?

Saludos
Rafa

[FERRUMSEN]

Saludos yo en mi opinión creo que no podemos imaginar la cuarta dimensión espacial pero eso no significa que no exista, nosotros existimos en un universo tridimensional desde nuestro punto de vista claro y como tal si existieran seres bidimensionales quizás estos no puedan imaginar la tercera dimensión espacial.
Si imaginamos unos seres planos, que viven en dos dimensiones como por ejemplo la superficie de una burbuja, su mundo sería bidimensional pero la burbuja tiene tres dimensiones, quizás no lo puedan imaginar pero existe su tercera dimensión, creo que algo así nos pasa a nosotros. La única manera será crear tecnología para detectar esas dimensiones aunque nuestra mente humana no se haya desarrollado para detectar las cuatro, solo tres de ellas. Un saludo.

[Zalioth]

Rafa, me gusta este tema ^^.

¿Te has planteado alguna vez dibujar o imaginar los ejes de coordenadas para E4? ¿Cúantos grados tendrian los ángulos que forman dichos ejes?

Algebraicamente basta con obtener 4 vectores linealmente independientes para obtener una sistema generador y si despues normalizas longitudes, una base. ¿Podemos obtener una base normal (ortogonal (ángulos de 90º entre ejes) y de long. de vectores igual a 1) en E4?

¿Eres capaz de imaginarla?


En cuanto a lo de la capacidad de la mente de ver 4 o más dimensiones es sólo cuestión en mi opinión de apertura mental (Abstracciones matemáticas)... Ejemplo: La primera vez que me explicaron que era un campo de potenciales yo me quedé a cuadros y no llegaba a visualizar el campo, sólo alcanzaba a ver una ecuación fea que en principio no dependía de 3 coordenadas... Al aprender más tarde la relatividad posicional de galileo me dí cuenta del truco, y empecé a ver como se "curvaba" el campo de potencial dependiendo de las 3 coordenadas. Luego se añadió el tiempo y la cosa se complicó, pero ya se podía vislumbrar por dónde iba la cosa.

Al añadir el principio de incertidumbre de Heisenberg, ya directamente pasé a ver los campos de potenciales como una colección de planos curvos (en E3) que se ordenaban con respecto al tiempo.


La visión más cercana que tengo de E4 consiste en la siguiente inducción:
En E1, un campo de potencial es una constante.
En E2, un campo de potencial es una curva (Posibilidad de discontinuidades).
En E3, un campo de potencial es un plano curvo (Posibilidad de discontinuidades).
=>
En E4, un campo de potencial sería un volumen curvo (Posibilidad de discontinuidades).

Si simplificamos, digamos que tenemos un espacio-tiempo estable (lo que sería un plano plano (valga la redundancia) en E3) y tendríamos una esfera en E4, si añadimos una discontinuidad (recordad esa imagen clásica de la representación de un agujero negro) tendriamos un toroide (para neófitos, un dónut).

No pretendo sentar cátedra, tan sólo pretendía daros mi punto de vista, no penseis que mi razonamiento es infalible ^^. Si creeis que me equivoco en algo, por favor, decidmelo.



Por cierto, en E4, los ángulos entre los ejes de una base normal, serían ángulos curvos de 90º, ¿Qué pensais?



EDITO: Rafa, releyendo tu mensaje inicial (disculpa porque no había prestado bastante atención la primera vez) me doy cuenta de que decimos básicamente lo mismo , eso me pasa por no darme dos segundos para procesar la información...

[Zalioth]

Ahondando más en el tema...

Intentemos imaginar una representación de nosotros mismos en cada uno de los espacios que dominamos e intentar hacer la misma inducción a ver a que se llega:

En E1 eres una línea (el perfil del monigote).
En E2 eres un monigote (de frente).
En E3 eres tú como te ves ahora mismo (añadimos profundidad al monigote, lo siento por la analogía, sé que es demasiado irónica XD).
=>
En E4 serías algo más complejo que un simple volumen, podríamos vernos como una coleccion de volúmenes tridimensionales ordenados según el tiempo, o ver ese hipervolumen (haciendo analogía a la hiperesfera).



Personalmente creo que depende del desarrollo de nuestra mente... Debemos asimilar los conceptos y la visión espacial de la cuarta dimensión llegará, pues hasta los propios niños tienen que aprender a distinguir que las imágenes del espejo son planas, aunque parezcan no serlo.


Con respecto a esto de la visión, mi profesor de cálculo de la universidad mantiene que nuestros ojos ven en 2 dimensiones y el cerebro calcula la tercera gracias a que tenemos dos ojos, pero que de forma natural no vemos en tres dimensiones... Personalmente creo que tiene toda la razón... Quizá a esto se deba nuestra limitación a la hora de visualizar un espacio en 4 dimensiones...

Si vemos en 2D, y necesitamos 2 puntos de vista para deducir las 3D, ¿no necesitaríamos 3 puntos de vista (colocados estratégicamente, no es tan sencillo como con el posicionamiento de los ojos) para poder ver en 3D y poder deducir la cuarta dimensión?

Ejemplo por si acaso:
Vemos en 2D y deducimos 3D: Yo te veo de frente y mi deducción de la longitud de tu nariz es bastante precisa, no así con el tamaño de tu culo, pues no tengo un punto de vista que me proporcione esa información de la profundidad...

Exactamente lo mismo pasa si vemos en 3D (mapeadores tridimensionales por ejemplo), entonces podrías deducir la cuarta dimensión, por supuesto, con más o menos grado de éxito dependiendo del posicionamiento de tus ojos...

Vamos, que si crio ojos en las manos y te doy un abrazo, te estaré viendo en 3D, y podré empezar a deducir la cuarta .

[Rafa]

Bien Zalioth, ya somos dos los infectados por el virus de la cuarta dimensión. Puenso que no está exenta de peligro esta afición: dicen que si te pasas en las elucubraciones puede peligrar tu salud mental. Aunque debo decir que a mí me sienta bien. Una de las ventajas de tratar de imaginar la cuarta dimensión es que es un buen somnífero. Si por la noche me desvelo, inmediatamente me pongo a tratar de imaginar la cuarta dimensión y me duermo enseguida.

Respecto a lo de la base normal ortogonal en E4 los 4 ejes de coordenadas deben formar ángulos rectos entre sí, dos a dos. Naturalmente, el cuarto eje no se "ve", se nos oculta, pero está.

Si consideramos el tiempo como cuarta dimensión, la cosa se aclara bastante. Por ejemplo, la hiperesfera en E(x,y,z,t) sería ahora:

x2 + y2 + z2 + (vt)2 = R2

donde v es una constante necesaria para uniformar las dimensiones de las magnitudes.

Escribiéndola así:

x2 + y2 + z2 = R2 - (vt)2 = (R + vt).(R - vt)

y haciendo variar t entre los valores -R/v y +R/v puede interpretarse como una esfera cuyo radio crece desde el valor 0 en t=-R/v, pasa por el valor R para t=0, y decrece hasta el valor 0 en t= +R/v.

Es decir, una esfera que es incialmente un punto, después va creciendo hasta su radio máximo R y después va decreciendo hasta convertirse otra vez en un punto (¿no os recuerda esto el Big Bang?).

El objeto "hiperesfera" en las cuatro dimensiones x,y,z,t es una sucesión contínua de esferas. Si damos valores concretos a la variable t obtenemos las "secciones" de la hiperesfera según los planos secantes t= constante, que son esferas de 3 dimensiones.

Si ahora hacemos el esfuerzo de pasar a cuatro dimensiones espaciales (sin considerar el tiempo), por analogía con el ejemplo anterior, podríamos decir que la hiperesfera en E4 podría cortarse a lo largo de cada una de las cuatro dimensiones y obtendríamos siempre una sucesión de esferas de 3 dimensiones. Es decir, el objeto hiperesfera en E4 no tiene forma esférica, pero lo mires como lo mires siempre verás un conjunto de esferas de diferentes radios y además simultáneamente.

Por hoy basta, ya me empiezo a marear.
Saludos
Rafa

[Zalioth]

Interesante comportamiento ese de usarlo como somnífero...

Precisamente anoche acabé pensando en cómo sería una esfera en E4, y utilicé el siguiente modelo:

Si el tetraedro en E4 es un tetraedro cuyas caras son también tetraedros (En E4 las caras del poliedro han de pertenecer a E3, al igual que en E3 las caras del poliedro pertenecen a E2... Básicamente es una ampliación de la información), al llevar el número de vértices hasta el infinito, obtenemos un poliedro que tiende a la esfera...

De forma inmediata se deduce que la esfera es el único poliedro regular cuyo número de vértices es infinito (por el ángulo que forman sus aristas... Un huevo (aunque posee cierta simetría) no sería regular dado que los ángulos que forman sus aristas no serían iguales en todo el poliedro).

Ahora bien, cada una de sus caras es otra esfera de E3...
Una esfera que contiene todas las esferas que puede contener nuestra esfera inicial (Sí, al tener infinitas caras la cantidad de esferas también es infinita... da vértigo). Una esfera de esferas, lo que traducido a términos de espacio-tiempo, es análogo a nuestra visión de una colección de esferas ordenadas según el tiempo...

Por supuesto esto no es más que un modelo, una reducción a E3, para que nuestros ojos (mentales) poco acostumbrados, puedan empezar a vislumbrar ese nuevo ente, tan infinitamente cargado de más información, que es un objeto de E4.

De nuevo hemos dicho lo mismo XD, personalmente prefiero hacer construcciones incrementales de esta forma, porque clarifica bastante... Tras ver lo que es el símplice, el hipercubo, el 16, el 24, el 120, el 600... podemos seguir iterando hasta el infinito, hasta obtener este poliedro regular de infinitos vértices, aristas, caras, cuya longitud de las aristas tienden a 0 y cuyos ángulos entre aristas tienden a 180º... Como tú bien dices, marea .




Por cierto que en esa página he vuelto a ver esa mania de los matemáticos de afirmar que una esfera en E3 es un objeto de dimensión 2....

¡Mentira! es una falacia, puesto que al usar coordenadas esféricas usas un sistema generador no normalizado cuyo |v| = R, es decir, en la base
normal, la misma esfera necesita 3 coordenadas para definirse: (Radio, Longitud, y Latitud). Afirmar que basta con longitud y latitud es una falacia pues dicho sistema sólo funciona con la esfera de radio R, en cuanto intentas definir otra esfera de distinto radio con ese sistema, has de incluir otra coordenada que indica la proporción respecto a R de dicha nueva esfera...

[Rafa]

Seguimos con el tema.

El objeto "hiperesfera" en E4 parece ser muy fructífero en cuanto a "ver" la cuarta dimensión.

Zalioth y yo hemos hecho dos aproximaciones distintas para imaginarnos este objeto, y con las dos llegamos a la misma imagen de la hiperesfera.

Resumo:

Según Rafa, apoyándonos en la analogía del tiempo como cuarta dimensión, una hiperesfera de radio R en E4 sería un conjunto infinito de esferas concéntricas, cuyos radios tienen valores comprendidos entre 0 y R. Pero esta imagen es incompleta: no se puede ver como una superficio esférica rellena de muchas esferas sin más. Si miras cerca de su superficie desde cualquier dirección ves esferitas muy pequeñas, que en la misma superficie se convierten en puntos. Si miras cerca del centro ves esferas grandes, y si miras cerca de la superficie del otro lado, vuelves a ver esferitas y puntos. Es decir, "la superficie está cubierta de esferitas".

Según Zalioth, apoyándonos en la idea de que un poliedro regular en E4 tiene caras que son poliedreos regulares de E3, una hiperesfera, considerada como el límite de un poliedro regular en E4, presenta esferitas de E3 en su superficie, cuyo tamaño tiende a cero en el límite. Es decir, "la superficie está cubierta de esferitas".

Creo que las dos imágenes coinciden en que una hiperesfera o un cuerpo cualquiera de 4 dimensiones podríamos verlo como un cuerpo que tiene infinitas formas, las cuales pueden verse simultáneamente, tanto las de mayor tamaño, en su interior, como las minúsculas en su superficie.

Saludos
Rafa

[Zalioth]

Es lo fascinante de las esferas, su simetría es infinita :P.
Me parece que es alentador el hecho de que ambos lleguemos a las mismas conclusiones.

Ahora que podemos ver en nuestra mente que es un objeto en E4, lo interesante viene a la hora de buscar aplicaciones para dicho objeto, situaciones en que usar un objeto en E4 tenga ventajas sobre otras opciones.
Ejemplo de ello es el espacio-tiempo, pues en E4 queda caracterizado de forma completa y muy simple, y sin embargo en E3 sólo podías considerar un solo discurrir del tiempo...


Otro bonito desafío ahora que nuestra visón espacial se va desarrollando, es intentar caracterizar un toroide en E4...

Es sencillo hacerlo mediante inducción, de la misma forma que lo hice con la esfera. Es otro de esos objetos con un grado infinito de simetría (aunque este infinito es menor que el infinito de la esfera).



Acabo de recordar una de las formas con que solían explicarme que era un volumen: Era la generación (giro) de una superficie. En cierto modo lo que ocurre en E4 es algo parecido, aunque indudablemente más complejo.
Esto me lleva a otra cuestión... la definición de la superficie de un objeto en E4, de su volumen, y de su hipervolumen (si os gusta la notación), como herramientas para poder definirlo por completo y proveerlo de aplicaciones...

[Rafa]

El volumen de un hipercubo de cuatro dimensiones sería (supongo):

V = (arista)^4

Y dado que el hipercubo tiene 8 caras que son cubos tridimensionales, la superficie sería:

S = 8 x 6 x (arista)^2 = 48 x (arista)^2

En cuerpos más complicados, el volumen y la superficie podrían calcularse quizás por medio del cálculo integral pero lo veo difícil, porque nos falla la representación del objeto.

Visualizar una esfera en E4 es difícil, un toroide mucho más. Ni siquiera es fácil visualizar el hipercubo, a pesar de que está muy estudiado.

Saludos
Rafa

[Zalioth]

Ese sería el valor del hipervolumen, el valor del volumen sería la suma de los volúmenes de cada cubo que forma el hipercubo (De forma análoga a que en E3 la superficie total es la suma de la superficie de cada cara del cubo) ¿No estás de acuerdo?

Esta noche he soñado con algo que puede ayudar a clarificar mucho lo que es un hipercubo (regalo de mi subconsciente ). Todos nosotros cuando éramos niños usábamos recortables y construiamos poliedros regulares de cartulina que nos ayudaban a visualizar mejor la tercera dimensión, por ejemplo este cubo. Pues bien, si hiciesemos un recortable de ese estilo para un hipercubo, cada uno de esos cuadrados serían cubos independientes, y al cerrar el hipercubo, estarían unos dentro de otros (misma longitud de arista). Espero haberme explicado lo bastante claramente ^^.



Efectivamente el cálculo integral es la solución cuando tienes aristas cuya longitud tiende a cero. Por supuesto sería muy complicado como bien dices, pues calcular el hipervolumen de la esfera implicaría resolver una integral de 4 variables.

Visualizar el toroide es análogo a visualizar la esfera, cada punto de la superficie del toroide es tangente a otros toroides de todos los tamaños posibles siempre que estén contenidos en el toroide inicial, y además cada uno de esos toroides internos, será tangente a otros, rellenando así el toroide de toroides, posicionados de todas las formas posibles...
¿desvarío demasiado? XD


Por cierto rafa, gracias, he de decir que es un placer conversar contigo ^^.