Matematicas y sorpresas

[chachini]

La estrategia a seguir sería que cada pistolero dispara siempre al contrario con mayor probabilidad de acierto. Partiendo de esto:

Probabilidad de que gane C.

Que A falle su primer tiro (2/3) y que B falle su primer tiro (1/3) (entonces C mataría a B) y luego A debería volver a fallar (2/3). Probabilidad de que gane C: 4/27 = 0.1481

Probabilidad de que gane B. B sólo ganará si C muere en la primera ronda (si no C lo matará a él sin remedio). Y esto ocurrirá bien porque A mata a C o bien porque B mata a C. Veamos:

A mata a C en primera ronda. Probabilidad de que gane B:

A mata a C y B mata a A
(1/3 * 2/3)

A mata a C, B falla, A falla y B mata a A
(1/3 * 1/3 * 2/3 * 2/3)

A mata a C, B falla, A falla, B falla, A falla y B mata a A
(1/3 * 1/3 * 2/3 * 1/3 * 2/3 * 2/3)

....

se forma una serie (convergente) de 1 a infinito de (2^n/3^2n). Desarrollando hasta 3er término resulta ser aprox. 0.2826

Si A no mata a C y B sí lo mata en primera ronda

A falla, B mata a C, A falla y B mata a A

(2/3 * 2/3 * 2/3 * 2/3)

A falla, B mata a C, A falla, B falla, A falla, B mata a A

(2/3 * 2/3 * 2/3 * 1/3 * 2/3 * 2/3)

A falla, B mata a C, A falla, B falla, A falla, B falla, A falla, B mata a A

(2/3 * 2/3 * 2/3 * 1/3 * 2/3 * 1/3 * 2/3 * 2/3)

....

se forma otra serie de n = 1 hasta infinito de (2^(n+3)/3^2(n+1)) que la suma de los 3 primeros términos es aprox. 0.2512

Total probabilidad que gane B = 0.5337

La probabilidad de que gane A será 1- 0.5337 - 0.1481 = 0.3181

P(A) = 0.3181
P(B) = 0.5337
P(C) = 0.1481

No me cuadran las probabilidades con lo que dicen las apuestas, o bien lo he hecho mal o bien las apuestas tienen en cuenta otras estrategias a la de que se dispara siempre al contrario de mayor probabilidad de acierto.

[VegaKing]

Bien desarrollado Chachini, queda bien claro que C es con diferencia el que peor lo tiene siendo B el que mayor probabilidad tiene de sobrevivir.

Tenía pensado desarrollarlo de forma parecida, a mi tampoco me salen los porcentajes de apuestas que se plantea en el problema...

¿Lo ves ahora iMia?

Si se plantea el juego de forma que en vez de terminos de probabilidad es en terminos absolutos, es decir el pistolero A dejara 1/3 de muerto a quien dispara el resultado será el mismo:

RONDA 1) A dispara a C dejandolo 1/3 muerto, luego B dispara a C rematándolo (1/3 + 2/3 = 3/3 )
RONDA 2) A dispara a B dejándolo 1/3 muerto, luego B dispara a A dejándolo 2/3 muerto
RONDA 3) A dispara a B dejándolo (1/3 + 1/3 = 2/3 muerto), luego B dispara a A dejándolo (2/3 + 2/3 = 4/3 )

Es evidente que la única estrategia válida es esta, pues las demas son suicidas, Si A dispara a B en vez de a C y le mata, automáticamente el estará muerto también, lo mismo al reves...

El resultado es idéntico que en terminos de probabilidad, PIERDE C, GANA B.

Saludos.

[Alex]

Buen trabajo Chachimi! Pero hay una cosa que también le sucede a VegaKimg: ¡Los resultados no terminan de encajar con las apuestas. Por tanto tenemos un problema y dos preguntas:

Preguntas:
1. ¿Están mal calculadas las cuotas de las apuestas? o,
2.-¿Exite alguna otra estrategia POSIBLE que pueda adoptarse y que altere las probabilidades de los pistoleros que ha calculado chachimi?

VegaKing ¡sigue sin haber ningún truco! y además te voy a contestar a la pregunta número 1: NO (si no me he equivocado, )

A ver si puedo preparar con Mathtype un esquema sobre los planteamientos que se manejan si antes no lo habeis resuelto!

Saludos

[iMia]

vaaaale..... me lo creo, pero solo por que lo decíis vosotros...

ya os dije que no tenia mucha idea... pero lo importante es participar!!! (como se dice cuando se pierde...) jajajaaaja

saludos...

[VegaKing]

2.-¿Exite alguna otra estrategia POSIBLE que pueda adoptarse y que altere las probabilidades de los pistoleros que ha calculado chachimi?

Lo único que se me había planteado es que a A le conviene fallar su disparo contra C pues así tiene más posiblidades de sobrevivir ya que si acierta con C, el siguiente es B que disparará contra él con un 66% de posibilidades de acertar. Pero no se me planteaba la opción de que podía fallar aposta ¿o si?

Saludos...

[chachini]

Otras estrategias son posibles, de hecho todos podrían ganar disparando al de menor probabilidad:

Por ejemplo, 1ª ronda

A dispara B, si falla y C mata a B, A podría ganar.

Si A falla el primer tiro y B dispara a A y falla, y luego a C le da por matar a A, B tiene la posibilidad de matar a C y ganar.

Y C puede dedicarse a matar primero a A y luego a B y ganar también.

El caso es que estas estrategias son de por sí peores para todos, pues dependen de lo que decidan los demás para aumentar su probabilidad de éxito, si no siempre "regalan" sus probabilidades de ganar ...

Estos casos ya complican mucho el problema y resolverlo con mi método de "la cuenta de la vieja" ya es más complicado. ¿Cuál sería la probabilidad de que A decida disparar primero a B en lugar de C? ¿Cuál es la probabilidad de que C decida matar primero a A en lugar de a B? Ya se complica bastante.


La pregunta importante sería:

¿Conoce cada pistolero la probabilidad que tienen los otros de acertar o no? Si no la conocieran dispararían a cualquiera de ellos al azar y ya sí que es posible que salgan las probabilidades de las apuestas.

[Alex]

Claro chachimi, todos los pistoleros se conocen muy bien.! La clave la aporta VegaKing

[tex]{Sea\; D =}\left\{ AB,BA,CA,AC,BC,CB \right\}\,\,\text{el conjunto de enfrentamientos posibles}\text{, ''dos a dos''}[/tex]
[tex]& \text{Sean }P\left( A \right)=\frac{1}{3},\,\,P\left( B \right)=\frac{2}{3},\,\,P\left( C \right)=1 ,\,\,\text{las probabilidades de acierto de cada pistolero}[/tex]

NOTACION UTILIZADA:

[tex]& P{{\left( X \right)}_{XY}}=\text{Probab }\;\;\!\!\acute{\mathrm{e}}\!\!\text{ xito de X en duelo a dos }XY,\text{ }siendo\text{ }X\text{ }''mano''[/tex]
[tex]& P{{\left( X \right)}_{YX}}=\text{Probab }\;\;\!\!\acute{\mathrm{e}}\!\!\text{ xito de X en duelo a dos }YX,\text{ }siendo\text{ }Y\text{ }''mano''[/tex]
[tex]& \Rightarrow \;\;\;\text{}Leeremos:\;\,\text{''implica''}[/tex]

CALCULO DE PROBABILIDADES DE EXITO EN ENFRENTAMIENTOS DE A DOS:
Sirva de ejemplo la primera notación (más abajo):
Leemos: Las Probabilidades de éxito de C en duelo con B, siendo C el que dispara primero es 1 (o sea éxito seguro). IMPLICA que la probabilidad de exito de B en duelo con C disparando B en segundo lugar es 0 (1-probabilidades de C). Y esto lo escribimos asi:

[tex]& \,P{{\left( C \right)}_{CB}}=1\,\Rightarrow P{{\left( B \right)}_{CB}}=0[/tex] ... continuamos

[tex]& P{{\left( C \right)}_{CA}}=1\Rightarrow P{{\left( A \right)}_{CA}}=0[/tex]

[tex]& P{{\left( A \right)}_{AC}}=P\left( A \right)=\frac{1}{3}\,\,\,\,\,\Rightarrow P{{\left( C \right)}_{AC}}=1-P{{\left( A \right)}_{AC}}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}[/tex]

[tex]& P{{\left( B \right)}_{BC}}=P\left( B \right)=\frac{2}{3}\,\,\,\,\,\Rightarrow P{{\left( C \right)}_{BC}}=1-P{{\left( B \right)}_{BC}}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}[/tex]

La cosa se complica un poco en los enfrentamientos AB, BA:

[tex]& P{{\left( A \right)}_{AB}}=\frac{P\left( A \right)}{1-\left[ \left( 1-P\left( A \right) \right)\left( 1-P\left( B \right) \right) \right]}\Rightarrow \,\,\,P{{\left( B \right)}_{AB}}=1-P{{\left( A \right)}_{AB}}\Rightarrow[/tex]

[tex]& \Rightarrow P{{\left( A \right)}_{AB}}=\frac{\frac{1}{3}}{1-\left[ \left( 1-\frac{1}{3} \right)\left( 1-\frac{2}{3} \right) \right]}=\frac{3}{7} \,\,\Rightarrow P{{\left( B \right)}_{AB}}=1-\frac{3}{7}=\frac{4}{7}[/tex]

[tex]& \,P{{\left( B \right)}_{BA}}=\frac{P\left( B \right)}{1-\left[ \left( 1-P\left( B \right) \right)\left( 1-P\left( A \right) \right) \right]}\Rightarrow \,\,\,P{{\left( A \right)}_{BA}}=1-P{{\left( B \right)}_{BA}}\Rightarrow \\[/tex]

[tex]& \Rightarrow P{{\left( B \right)}_{BA}}=\frac{\frac{2}{3}}{1-\left[ \left( 1-\frac{2}{3} \right)\left( 1-\frac{1}{3} \right) \right]}=\frac{6}{7}\,\,\,\Rightarrow \,P{{\left( A \right)}_{BA}}=1-\frac{6}{7}=\frac{1}{7}[/tex]

Las probabilidades totales, según la estrategia que chachumi asume como idónea, y además no le falta razón, las esquematizamos a continuación:


Suponemos que A dispara primero contra C, y esto IMPLICA uno de los dos enfrentamientos: BA ó BC con las probabilidades indicadas sobre las flechas y a su vez implican otros enfrentamientos con las probabilidades indicadas sobre las flechas que hemos calculado anteriormente.

La estrategia es muy lógica: A dispara sobre C y si falla, a continuación B disparará también sobre C y si falla, entonces C deberá disparar contra B y así someterse a un solo disparo de A con grandes posibilidades de victoria para C.

Vemos que el favorito es B, seguido por A y en último lugar esta C.

Pero efectivamente como dice VegaKing, existe una estrategia que a A no le pasa desapercibida ¡le va la vida en ello!, se trata de DISPARAR AL AIRE en su primer turno, por lo que necesariamente provoca un duelo entre C y B.

Así, con esta estrategia las probabilidades seguirían esta ruta:



Dando un vuelco a las probabilidades. Ahora el favorito es A, en detrimento de B que pasa al segundo lugar y continúa en último lugar C, aunque con mas probabilidades de vencer. El más perjudicado por la decision de A de fallar conscientemente su disparo es B.

Saludos

[chachini]

Muy bueno Alex ,

aunque desde un punto de vista puramente matemático entonces sí que tiene truco, pues si A dispara al aire, o bien hay que suponer que sigue teniendo un 1/3 de probabilidades de matar (¿rebotaría la bala?) o bien va en contra del enunciado que dice que A tiene 1 acierto de cada 3 disparos (¿podría dispararse a sí mismo en un pie? )

Es como si tengo una bolsa con 2 bolas rojas y 1 negra ¿probabilidad de sacar la negra? Ninguna porque yo a esta tontería de juego no quiero jugar ...

Un saludo y pon más de estos que mantienen la mente activa para los que ya la tenemos a medio gas

[VegaKing]

Muy bueno Alex , jaja sabía que había algo raro.

Saludos.

[Alex]

Bueno, no estoy muy de acuerdo con ustedes. El poroblema no tiene truco!! Cada pistolero tiene y sigue teniendo sus probabilidades individuales de acierto, y esto lo saben todos los pistoleros. Y estas probabilidades son repetitivas, es decir, cada vez que un pistolero dispara, tiene las mismas probabilidades de acierto. Si A falla los dos primeros disparos, no es cierto que vaya a acertar el tercero!.

Sabido esto, ahora viene la estrategia del duelo, que evidentemente no es aleatoria. Y con todos estos ingredientes "encima de la mesa" cada pistolero tiene que elegir la suya, con el único objetivo de obtener las máximas probabilidades de salir con vida.

El pistolero A, tiene mas opciones que ninguno, ya que es el primero que dispara, el primero que elige pistolero y el que sabe (al igual que hemos sabido nosotros y tambien B y C) que B siempre va a disparar contra C y que C siempre va a disparar contra B y él sabe muy bien que este enfrentamiento BC, le favorece ya que se quita de enmedio a uno de los dos y ademas dispara primero en el enfrentamiento final.

Matemáticamente el problema se complicaría mucho porque como dijo chachimi, deberiamos obtener las probabilidades de cada uno de ellos, teniendo en cuenta la totalidad del espacio muestral con lo que las posibilidades se multiplicarian en demasía.

Por este motivo entra en juego la estrategia y nos hemos limitado a elegir la que nos parece la mas lolgica, luego el problema, desde el principio lo hemos planteado como estratégico y la estrategia de A que mas le favorece es provocar el duelo entre B y C, por tanto si el dispara el primero, estrategicamente debe asegurarse de fallar su primer disparo, porque también él piensa que B va a disparar contra C.

Podriamos analizar el problema si resulta ahora que B no dispara a C, como nosotros suponemos, sino que lo haga contra A. Esta estrategia de B nos llevaria a otros resultados, que darían la victoria a C con muy altas probabilidades y muy pocas para A.

Cada pistolero, tiene en la elección de su estrategia la potestad de alterar las posibilidades de victoria del conjunto. Esto es como yo lo veo... pero bueno, que conste que me someto al veredicto de la mayoría!

Saludos!!
PD intentare encontrar mas problmillas!!... pero todavia no se me ha pasado la mania de la criptografía, chachumi