Juguetenado con números he encontrado una curiosa conjetura que no he sido capaz ni de probar ni de desmentir, dice lo siguiente:
Para todo n que pertenece a los naturales existe un k que pertenece a los naturales tal que:
Por ejemplo:
¿Alguien puede probar o desmentir la conjetura?
NOTA: Editado para poner las fórmulas en 'bonito'
Conjetura matemática
Re: Conjetura matemática
Mensajepor EMM » 15 Mar 2011, 21:20
Hola:
Pues si, realmente he comprobado que se cumple.
La solución es muy sencilla teniendo en cuenta la siguiente propiedad de todas las formulas recursivas:
Para demostrar una formula recurrente solo hace falta lo siguiente:
1º .- Comprobar que se cumple para el primer término
2º .- Suponer que es cierta para el termino enesimo
3º .- Comprobar que el termino (n+1) se deduce del anterior.
Si te fijas en este caso veras que el 1º y 2º caso ya están elaborados
Si ahora pones la formula para n+1 y operas veras que puedes deducir que:
[tex]K_{n+1}= {K_n}^3*3^{(2n+1)}-{K_n}^2*3^{(n+1)}+{K_n}[/tex]
El resultado siempre es entero Luego es correcto.
Un Saludo
Eduardo
Pues si, realmente he comprobado que se cumple.
La solución es muy sencilla teniendo en cuenta la siguiente propiedad de todas las formulas recursivas:
Para demostrar una formula recurrente solo hace falta lo siguiente:
1º .- Comprobar que se cumple para el primer término
2º .- Suponer que es cierta para el termino enesimo
3º .- Comprobar que el termino (n+1) se deduce del anterior.
Si te fijas en este caso veras que el 1º y 2º caso ya están elaborados
Si ahora pones la formula para n+1 y operas veras que puedes deducir que:
[tex]K_{n+1}= {K_n}^3*3^{(2n+1)}-{K_n}^2*3^{(n+1)}+{K_n}[/tex]
El resultado siempre es entero Luego es correcto.
Un Saludo
Eduardo
Última edición por EMM el 18 Mar 2011, 08:20, editado 1 vez en total.
Re: Conjetura matemática
Mensajepor m3ntol » 15 Mar 2011, 23:58
Gracias Eduardo,
no solo lo has demostrado sino que me has dado una forma de calcular los K. Si pudieras detallar las operaciones que has hecho te lo agradecería.
un saludo!
no solo lo has demostrado sino que me has dado una forma de calcular los K. Si pudieras detallar las operaciones que has hecho te lo agradecería.
un saludo!
Re: Conjetura matemática
Mensajepor EMM » 16 Mar 2011, 19:47
Hola:
Pues he operado así:
De tu definición saco el término enesimo:
[tex]{K_n}= {(2^{3^n}+1)}/{3^{(n+1)}}[/tex]
Luego el término n+1 será:
[tex]{K_{n+1}}= {(2^{3^{(n+1)}}+1)}/{3^{(n+2)}}= {({(2^{3^n}})^3+1)}/{3^{(n+2)}}[/tex]
Por otro lado despejando en tu definición tenemos:
[tex]{2^{3^n}}= {K_n}*{3^{(n+1)}} - 1[/tex]
Si sustituimos en la definicón del [tex]{K_{n+1}}[/tex] queda:
[tex]{K_{n+1}}= {({({K_n}*{3^{(n+1)}} - 1 )^3+1)}/{3^{(n+2)}}[/tex]
No queda mas que hacer la operación de elevar al cubo y hacer la división y te queda el resultado expuesto.
No te lo escribo todo que el LaTex es un tostón
Un Saludo
Eduardo
Pues he operado así:
De tu definición saco el término enesimo:
[tex]{K_n}= {(2^{3^n}+1)}/{3^{(n+1)}}[/tex]
Luego el término n+1 será:
[tex]{K_{n+1}}= {(2^{3^{(n+1)}}+1)}/{3^{(n+2)}}= {({(2^{3^n}})^3+1)}/{3^{(n+2)}}[/tex]
Por otro lado despejando en tu definición tenemos:
[tex]{2^{3^n}}= {K_n}*{3^{(n+1)}} - 1[/tex]
Si sustituimos en la definicón del [tex]{K_{n+1}}[/tex] queda:
[tex]{K_{n+1}}= {({({K_n}*{3^{(n+1)}} - 1 )^3+1)}/{3^{(n+2)}}[/tex]
No queda mas que hacer la operación de elevar al cubo y hacer la división y te queda el resultado expuesto.
No te lo escribo todo que el LaTex es un tostón
Un Saludo
Eduardo
Re: Conjetura matemática
Mensajepor Alex » 17 Mar 2011, 14:14
Hay que ver lo que dan los números!! Buena aportación m3ntol y mejor solución EMM.
Saludos
Saludos
Sol y luna y cielo proclaman al divino autor del mundo...
6 mensajes
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Patricio Domínguez Alonso fue un paleontólogo español, gran amante de la Astronomía y Divulgador Científico.
Doctor en Ciencias Biológicas (1999) y especialista en Biología Evolutiva fue profesor de Paleontología en la Facultad de Ciencias Geológicas de la UCM. Miembro del Instituto de Geociencias (CSIC-UCM) desde su creación, estaba integrado en la línea de Investigación del Centro “Episodios críticos en la historia de la Tierra”.
Su trabajo de investigación se centró en el origen de los vertebrados, evolución temprana de aves y estudios sobre el cuaternario en el Caúcaso. Para ello desarrolló estancias de investigación en Reino Unido, Estados Unidos, Brasil, Armenia, China y Honduras (Fte. Wikipedia)
Como aficionado a la Astronomía, desde 2008 fue Presidente de la Asociación Astronómica AstroHenares y socio destacado de la Asociación Astronómica Hubble. Desde 2005 y durante 8 años fue moderador activo y permanente de este foro, convirtiéndose en el usuario más prolífico del mismo y en uno de los garantes de su buen funcionamiento.
Con el apoyo de la Asociación Hubble y la difusión del foro, organizó algunas de las reuniones de aficionados a la Astronomía más importantes de España, como la de Navas de Estena en los Montes de Toledo, conocida como “AstroArbacia”.
Podemos afirmar sin temor a equivocarnos que su pérdida inició el declive del foro allá por 2013. Por eso, tras su renovación queremos rendir homenaje desde la Asociación Hubble a su figura como aficionado a la Astronomía, como persona y como gran amigo de los administradores, moderadores y muchos de los usuarios del foro, a los que siempre ayudaba con agrado y sabiduría en multitud de temas.
Nos vemos en las estrellas, amigo
¿ Quién fue nuestro usuario Arbacia ?
Patricio Domínguez Alonso fue un paleontólogo español, gran amante de la Astronomía y Divulgador Científico.
Doctor en Ciencias Biológicas (1999) y especialista en Biología Evolutiva fue profesor de Paleontología en la Facultad de Ciencias Geológicas de la UCM. Miembro del Instituto de Geociencias (CSIC-UCM) desde su creación, estaba integrado en la línea de Investigación del Centro “Episodios críticos en la historia de la Tierra”.
Su trabajo de investigación se centró en el origen de los vertebrados, evolución temprana de aves y estudios sobre el cuaternario en el Caúcaso. Para ello desarrolló estancias de investigación en Reino Unido, Estados Unidos, Brasil, Armenia, China y Honduras (Fte. Wikipedia)
Como aficionado a la Astronomía, desde 2008 fue Presidente de la Asociación Astronómica AstroHenares y socio destacado de la Asociación Astronómica Hubble. Desde 2005 y durante 8 años fue moderador activo y permanente de este foro, convirtiéndose en el usuario más prolífico del mismo y en uno de los garantes de su buen funcionamiento.
Con el apoyo de la Asociación Hubble y la difusión del foro, organizó algunas de las reuniones de aficionados a la Astronomía más importantes de España, como la de Navas de Estena en los Montes de Toledo, conocida como “AstroArbacia”.
Podemos afirmar sin temor a equivocarnos que su pérdida inició el declive del foro allá por 2013. Por eso, tras su renovación queremos rendir homenaje desde la Asociación Hubble a su figura como aficionado a la Astronomía, como persona y como gran amigo de los administradores, moderadores y muchos de los usuarios del foro, a los que siempre ayudaba con agrado y sabiduría en multitud de temas.
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