Mensajepor alshain » 17 Ene 2008, 15:15
Un objeto adimensional, una partícula puntual, en un espacio-tiempo plano (de la relatividad especial) de d dimensiones, sigue una línea de mundo que representa su evolución temporal. Por ejemplo, aún en caso de estar estática la partícula, su línea de mundo es una línea vertical paralela al eje temporal. Su movimiento libre es tal que sigue una geodésica y su momento lineal se conserva. Este movimiento es consecuencia matemática del principio de acción mínima, que nos dice que la trayectoria que minimiza o en general hace estacionaria una acción es aquella que es física. La acción, para la partícula puntual, es proporcional a su tiempo propio τ que parametriza la línea de mundo proporcionando una medida de su longitud.
Un objeto unidimensional, una cuerda, en un espacio-tiempo plano d dimensiones sigue una hoja de mundo. Su centro de masas es un lugar geométrico adimensional, que se comporta como la partícula puntual. Es decir, si está libre se mueve por una geodésica y su momento lineal se conserva. El movimiento de una cuerda es, no obstante, más complejo, ya que presenta un grado de libertad interno en la dinámica de cada uno de los puntos de la cuerda.
La hoja de mundo tiene dos dimensiones, una que sigue con el centro de masas en la dirección del movimiento en el espacio-tiempo y la otra perpendicular a ella. Es decir, una vez localizados en la hoja de mundo en el espacio-tiempo, se necesitan dos parámetros (τ, σ) para definir un punto P dentro de ella, P(τ, σ), y, con ello, especificar un punto en la dinámica de la cuerda. Por otro lado, cada el punto P en la hoja de mundo está localizado dentro del espacio-tiempo de d dimensiones con coordenadas P(τ, σ) = {P0(τ, σ), P1(τ, σ), ..., Pd(τ, σ)}. Estas funciones Pi(τ, σ) determinan la forma de la hoja de mundo dentro del espacio-tiempo. Las coordenadas de la hoja de mundo son dependientes del sistema coordenado elegido para describir la física, pero su area es invariante.
Al igual que la acción de la partícula puntual se define proporcional a su tiempo propio τ, la acción de la cuerda se define proporcional al área de la hoja de mundo definida por (τ, σ). A esta acción se la denomina acción de Nambu-Goto. En la mayoría de las aplicaciones, trabajar con ella resulta algo complicado, por lo que se hace uso de una formulación equivalente de la acción, denominada acción de Polyakov.
Un aspecto esencial a tener en cuenta son las simetrías de la acción. Una simetría es una operación que deja la acción invariante. Una de las características de la acción de la cuerda es que, al estar definida de forma libre un el espacio-tiempo de la relatividad especial, hereda la simetría de Poincaré (simetría de la relatividad especial). Es decir, la acción ha de ser invariante frente a cambios de coordenadas en el espacio-tiempo plano de d dimensiones. De otra forma la física no sería la misma para diferentes observadores inerciales.
Otra simetría es la simetría frente a reparametrizaciones de la hoja de mundo. Tomemos como analogía la partícula puntual. Su acción está definida proporcional al tiempo propio, pero igualmente puede definirse proporcional a otro parámetro (afín) que parametrice la curva de mundo y proporcione con ello una medida de su longitud. En el caso de la cuerda y su hoja de mundo la situación es similar, con invarianza frente a reparametrizaciones Pi(τ, σ) = Pi(τ', σ'). Esto significa que la física es independiente de las propiedades interiores a la hoja de mundo.
Por último, existe una simetría conforme, denominada también simetría de Weyl. En la hoja de mundo, al ser ésta una superficie bidimensional dentro del espacio-tiempo, se puede definir una métrica que nos diga cómo definir distancias dentro de ella haciéndo uso de τ y σ, y, que, a su vez, viene inducida por el espacio-tiempo de d dimensiones en el cual hemos definido la acción. Pues bien, la acción es invariante frente a cambios de escala de la métrica. Esto significa que es invariante frente a multiplicar la métrica la hoja de mundo bidimensional por una constante, de forma que las distancias varíen pero no los ángulos. Este tipo de simetría conforme es especial para espacios bidimensionales, ya que en ellos la métrica tiene un sólo componente independiente (la métrica es una matriz simétrica 2x2 con tres componentes, y dos de ellos se pueden eliminar imponiendo invarianza frente a cambios de coordenadas). En línea con la simetría anterior, esto significa que la física es independiente de la métrica interior de la hoja de mundo, ya que el único componente independiente de la métrica es eliminado por la simetría de Weyl.
Una consecuencia interesante de la parametrización realizada de la cuerda es que la física puede considerarse una teoría de campos bidimensional en el espacio τ, σ, con d campos escalares dados por Pi(τ, σ) y con simetría conforme en el espacio-tiempo bidimensional. La simetría de Poincaré en este caso sería una simetría interna. En tal caso es interesante notar que la acción de Polyakov es físicamente independiente de la métrica de fondo definida sobre la hoja de mundo. En la otra formulación original, la acción de Polyakov es dependiente del fondo determinado que hemos elegido como el espacio-tiempo plano con simetría externa de Poincaré.
De la acción de Polyakov, o equivalentemente también de la de Nambu-Goto, se pueden derivar las ecuaciones de movimiento de la cuerda de acuerdo con el principio de acción mínima. La imposición del principio de acción mínima obliga a considerar un término de frontera en la integración, cuyo tratamiento, a su vez, determina una distinción fundamental entre cuerdas cerradas o abiertas. Por otro lado, para determinar una solución concreta a las ecuaciones de movimiento hace falta, además, fijar unas condiciones de contorno en los extremos de la cuerda. Para cuerdas cerradas esta condición viene fijada de forma natural por el hecho de que no tienen extremos. Para cuerdas abiertas aparecen dos clases diferentes de condiciones de contorno se denominan condiciones de Neumann y condiciones de Dirichlet.
Las primeras fijan las derivadas de los extremos de la cuerda e implican que el momento es conservado en los extremos, mientras que las segundas son equivalentes a mantener la posición de los extremos fija. La superficie p-dimensional en la que los extremos de una cuerda quedan fijos en el caso de condiciones de Dirichlet se denomina D-p-brana (D por Dirichlet y p por su dimensión). El resultado final es que la cuerda cumple una ecuación de onda: a lo largo de σ la cuerda puede vibrar subiendo y bajando a medida que transcurre τ. La proyección de esta vibración en cada una de las coordenadas espacio-temporales viene dada por los Pi(τ, σ) correspondientes. En general, la onda en cuestión puede expresarse como suma de dos soluciones cada una de ellas moviéndose hacia un lado diferente de la cuerda L y R. Para la cuerda abierta, no obstante, ambas soluciones no son independientes.
La onda general, solución a las ecuaciones de movimiento, puede descomponerse en una serie de Fourier, de la forma usual, sobre ondas básicas y con coeficientes sobre éstas que nos representan los modos oscilatorios de la cuerda. Hasta aquí todo son propiedades clásicas de una cuerda, que puede ser una cuerda cualquiera y no tiene por qué tener nada que ver con una teoría de unificación. Antes de proceder con el tratamiento cuántico de la cuerda, conviene aún mencionar que las ecuaciones de movimiento de la cuerda contienen grados de libertad no-físicos, representados por las simetrías mencionadas de la acción.
En general, ocurre que la relatividad especial y el requerimiento de invarianza frente a cambios coordenados nos impone describir la física de una forma muy determinada (covariante), cosa que lleva a que todos los grados de libertad no sean independientes. Por ejemplo, para el momento y la energía (p0 = E, p1, ..., pd) de una partícula puntual existe una relación entre ambos dada por E² - p1² - ... - pd² = m², que se reduce a E² - p² = m², ó la famosa E = m (con c = 1) en el sistema comóvil con la partícula. Para la cuerda la situación es similar, pero además tenemos una simetría interna de la hoja de mundo, la simetría de Weyl. Esta da lugar a otras condiciones (ligaduras) sobre los grados de libertad que serán de fundamental importancia a la hora de aplicar los principios de la mecánica cuántica.
maravilla la facilidad que tienes en asimilar nuevas teorías. (Lógico que ayuda poseer una buena base de conocimientos previa). Y los contactos que debes tener entre teóricos destacados, los doy por irrefutables. Tu aplomo en las redacciones , dan a entender que no son únicamente desarrollo aplicado de tus lecturas, sino que has contrastado pareceres.
