La mágia de los números

Alex
Mensajes: 1423
Registrado: 10 Dic 2004, 00:00

Mensajepor Alex » 20 Abr 2008, 16:47

Dónde se pueden ver las otras 22 conjeturas?
No lo se, pero supongo que navegando y buscando por internet, estarán en algun lado recogidas.. son importantes en matematicas. Si encuentras algunas no dejes de ponerlas aqui!! :)

Pero de momento tienes otra, de las que me acuerdo o las tengo resaltadas en un viejo libro de Algebra y que puse en otro post anterior:

Las únicas potencias de dos números naturales consecutivos son las de 8 y 9, que pueden escribirse como 2^3 y 3^2. ¿Son estas realmente las dos unicas potencias que generan dos naturales consecutivos?.

NOTA: Debido al tiempo del libro de Algebra, puede ser que esta conjetura este demostrada y ahora tenga ya el titulo de teorema!

Saludos
Sol y luna y cielo proclaman al divino autor del mundo...

Xoelopez
Mensajes: 275
Registrado: 25 Nov 2007, 00:00
Ubicación: Orense
Contactar:

Mensajepor Xoelopez » 20 Abr 2008, 17:08

http://es.wikipedia.org/wiki/Problemas_de_Hilbert
Esto de los 23 problemas de Hilbert no tendrá algo que ver?
Una D80 y un SW de 8 pulgadas
Mi flickr

Avatar de Usuario
acafar
Moderador
Moderador
Mensajes: 3709
Registrado: 13 Sep 2005, 23:00
Ubicación: OJ287

Mensajepor acafar » 20 Abr 2008, 19:43

Hola,

Creo que no es uno de los problemas de Hilbert. La conjetura esta del 3n+1 se llama conjetura de Collatz y viene de 1937.

En http://www.unsolvedproblems.org/UP/index.htm hay una lista de famosos problemas abiertos.

Saludos,

Rafa

Avatar de Usuario
acafar
Moderador
Moderador
Mensajes: 3709
Registrado: 13 Sep 2005, 23:00
Ubicación: OJ287

Mensajepor acafar » 20 Abr 2008, 19:52

Por cierto Alex, que he estado buscando y en efecto ya está resuelta (de forma afirmativa) la llamada conjetura de Catalan que dice que 8 y 9 son las dos únicas potencias consecutivas. La demostración es de 2002 por Preda Mihăilescu y ahora se conoce como "Teorema de Mihăilescu".

Yo también me quedé en la conjetura y no sabía que había sido demostrada hasta ahora que he cotilleado un poco por la red.

Saludos,

Rafa

Alex
Mensajes: 1423
Registrado: 10 Dic 2004, 00:00

Mensajepor Alex » 20 Abr 2008, 20:58

Gracias acafar y Xoelopez por los enlaces... por mi parte supuse que en wiki habria uno en español.... y voila!

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Collatz

Esta conjetura para mi es de una belleza absoluta! y debe encerrar algo especial y transcendente...

En la pagina de wiki, pueden verse alunos ejemplos interesantes sobre intentos y verdaderamente son curiosos. Se ha probado incluso con el sistema binario!!

Edito, para incluir que en Nov. 2005 se ha llegado a probar esta secuencia con el número 2^58 = 288.230.376.152 millones!! ... y se llega a la sucesion 4,2,1...

Saludos
Sol y luna y cielo proclaman al divino autor del mundo...

Xoelopez
Mensajes: 275
Registrado: 25 Nov 2007, 00:00
Ubicación: Orense
Contactar:

Mensajepor Xoelopez » 20 Abr 2008, 22:25

Pues la conjetura de Collatz probablemente se cumpla siempre :D :D :lol:
Una D80 y un SW de 8 pulgadas
Mi flickr

Avatar de Usuario
acafar
Moderador
Moderador
Mensajes: 3709
Registrado: 13 Sep 2005, 23:00
Ubicación: OJ287

Mensajepor acafar » 21 Abr 2008, 07:17

Lo de que lo hayan intentado con números binarios parece natural porque la conjetura tiene una fuerte relación con potencias de 2: si durante el proceso de dividir entre 2 los pares y multiplicar x3 y sumar 1 los impares "caes" en una potencia de 2, ya sólo puedes dividir entre 2 hasta llegar hasta 4,2,1 y a partir de ahí ya está. Así que se trata de probar que con estas reglas siempre terminas llegando a una potencia de 2.

Saludos

Avatar de Usuario
franc
Mensajes: 2176
Registrado: 23 Nov 2006, 00:00
Ubicación: valencia

Mensajepor franc » 21 Abr 2008, 12:54

Alex dijo :

"Esto es lo mismo que 3n'+1=n'' y este es el kid de la cuestión, lo que hay que demostrar es que todos los caminos llegan a 4,2,1 aplicando estas reglas".

La siguiente exposición explica que: 3n´+1 = n" /2 = 1, ó n´, simplificando la operación a sus mínimos, y su resultado es 1 si la adición es la unidad, o un número mínimo impar indivisible por dos, si la adición es un número mayor que la unidad:

Ahí va otro intento de demostrar la conjetura 3n´+1. Creo que el otro intento se queda pobre al lado de éste. Lo que he hecho es llevar las condiciones a sus mínimos posibles, lo de llegar a una potencia de dos, no es significativo, según esta explicación, dependerá si la adición al número impar es la unidad o mayor que ésta, daros cuenta que cuando la adición es la unidad siempre se llega a 1, y cuando es mayor se puede llegar a 1 o a cualquier número mínimo impar indivisible por dos.

Un número impar multiplicado no solamente por 3, sino por cualquier número impar, su resultado es siempre otro número impar, por lo tanto simplificando no hay que multiplicar por ningún número, sólo añadirle 1 si es impar, y dividirlo por 2 si es par, es decir n´+1 = n”, así se reduce el ciclo a: 2, 1, 2, 1, 2, 1............

Pero aún podemos ir más lejos, y dejarlo en 1 si al número impar no se lo añadimos, es tan sencillo como que un número impar no es divisible por 2, con lo que cualquier número impar (por grande que sea la cifra), es igual a 1 en su característica de no divisibilidad por dos, lo que sucede es, que al multiplicar cualquier número impar por otro impar (y añadirle 1) lo que hacemos es alargar el proceso, esa igualdad y característica de no divisibilidad por dos es la explicación de la conjetura. Se cumple siempre.

n´x n´= N´

n´+1 = N”, ó

n´+ n´= N”

Todavía podemos ir más lejos, 1 es número impar, por lo que cualquier número impar que añadamos al número impar dado, su resultado será siempre un número par.

Pasemos ahora al número par: (n” /2 = n” /2.............n´)

Un número impar es siempre siempre, la descomposición final de un número par en sucesivas divisiones por 2 , con lo que tenemos ya simplificadas las dos condiciones:

3n´+1 = n´+ n´ Ejemplo, en lugar del 3 cogemos un impar cualquiera, el 7:

7 x 11 = 77 y ahora en lugar de añadirle 1, le añadimos un impar cualquiera:

77+231 = 308, es un número par, donde se cumple que: n´+ n´= n”


Y la otra condición:

n” /2 = (n”, n´) o lo que es lo mismo:

n´= n” /2/2/2/2.........= n´

Con esto se demuestra que cualquier cifra por elevada que sea terminará siempre con esas condiciones en la unidad, y si el impar añadido es superior a 1, lo hará en el impar mínimo indivisible por dos, lo único que se hace es, que al multiplicar un impar por un impar, el proceso de la descomposición se alarga. Realmente es una perogrullada, puesto que el proceso debía terminar cuando hace acto de presencia un número impar mínimo indivisible por dos, ya que este al igual que la unidad no son divisibles por dos. Al multiplicar impar por impar da otro impar y si le sumas otro impar cualquiera, dará un número par, y esto puede alargarse todo lo que dé de sí dicho número por su extensión, pero terminará siempre en 1, o como ya he dicho, en un impar mínimo indivisible por dos.

Un ejemplo después de todo lo dicho, cojamos el número 3567, está cogido al azar:

Si siguiéramos las reglas, habría que multiplicarlo por tres y añadirle 1, pero como ya sabemos que un impar por otro impar dará un nuevo impar, evitamos ese proceso y procedemos con el siguiente, que es añadirle 1, pero como quiero que la cosa quede clara no le vamos a añadir 1, sino cualquier otro número impar, por ejemplo 21:

3567+21 = 3588 /2 = 1794 /2 = 897+21 = 918 /2 = 459+21 = 480 /2 = 240 /2 = 120/2 = 60 /2 = 30 /2 = 15+21 = 36 /2 = 18 /2 = 9 vemos que el proceso, sea que le añadamos 1 o cualquier otro número impar es similar, termina siempre con un impar mínimo indivisible por dos. Y esta creo que es la definitiva:

3n´+1 / 2 = n”/2/2/2/2/2.......= 1 con lo que:

3n´= n´x n´= n´, sustituyendo ahora el 1 por n´, tenemos:

(n´+ n´) /2/2/2/2/2........= n´ ( el resultado será la unidad si la adición es 1, o cualquier número impar mínimo indivisible por 2, si la adición es un impar superior a la unidad)

No quiero el millón de €, me vale con la satisfacción de la demostración, que no sé a los demás, pero a mí me deja satisfecho. A ver quien le pone peros a lo expuesto.

(n´+ n´) /2/2/2/2/2........= n´ Esta fórmula es la simplificación de 3n´+1 , y n”/2, podéis comprobar que lo único que se consigue al multiplicar por tres es alargar el proceso, si cogemos 1000000 y prescindimos de multiplicarlo por tres, dado que el resultado es un número también impar, tenemos su descomposición hasta llegar a la unidad ¡solamente en 20 pasos! : en este caso utilizamos (n´+1 /2)

1000000 -500000 –250000 – 125000 – 62500 –31250 – 15625 – 7813 – 3907 –1954–977 -489 – 245 – 123 – 62- 31 – 16 – 8 – 4 – 2 – 1

¡Eureka! (3N´+1 /2 /2 /2 /2.......= 1) = (n´+ n´/2 /2 /2 /2.......= 1, ó n´)



saludos
Ubi dubium ibi libertas:
Donde hay duda, hay libertad.

Preserva tu derecho a pensar,
puesto que incluso pensar erróneamente,
es mejor que no hacerlo en absoluto.

Imagen
HIPATIA

http://elclariscuro.blogspot.com/

Guest

Mensajepor Guest » 21 Abr 2008, 17:05

Creo franc, que el razonamiento es correcto, pero no sé si lo que se busca es demostrar que para cualquier número se cumple el final de 4,2,1. Siendo obligado a multiplicar por el mismo impar cada vez que sale un impar.

Lo digo porque en estas sucesiones, evidentemente, lo más rápido y fácil, es el multiplicar por 1.

Luego le sique la muestra que nos dieron la de multiplicar por 3 y el final ya es más largo.

Si obligas a multiplicar por 5, te aseguro que depende como empieces es mucho más largo.

Con el siete que tu has mostrado si en vez de añadirle un impar cualquiera te obligas a que siempre sea multiplicado por 7, cansa de verdad.

No quiero ni imaginar usar el 11, que a lo mejor nos pasamos dando vueltas unas veces adelante y otras atrás, antes no lleguemos al 4.

No tengo la paciencia que tienes tú franc, para comprobarlo, pero me parece que si usamos como factores fijos a números primos, se alargará la obtención del resultado a tenor del creciente valor del número primo. O nunca.

Saludos del Abuelo. :D

Avatar de Usuario
franc
Mensajes: 2176
Registrado: 23 Nov 2006, 00:00
Ubicación: valencia

Mensajepor franc » 21 Abr 2008, 17:14

Es que carlos el truco está que cuando multiplicamos un impar por otro mayor que tres, puede llegarse a la unidad o no, el secreto está en saber cuando no se va a llegar a la unidad por la repetición del ciclo, una vez localizado éste, sabremos cuál es el número impar mínimo a partir del cual se repite el ciclo.


saludos
Ubi dubium ibi libertas:
Donde hay duda, hay libertad.

Preserva tu derecho a pensar,
puesto que incluso pensar erróneamente,
es mejor que no hacerlo en absoluto.

Imagen
HIPATIA

http://elclariscuro.blogspot.com/

Volver a “Ciencias en General”