Ayuda en cálculo para un novato

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Monopoli
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Ayuda en cálculo para un novato

Mensajepor Monopoli » 04 Jul 2012, 03:23

Hola! No soy muy bueno en las matemáticas, pero me gustaría que me ayudaran en alguna formulita que me ayude a determinar a la distancia que tengo que poner un objeto de un tamaño X para que tenga un determinado diametro aparente. Para ejemplificarlo pondre el tipico mito de 'las dos lunas' que consiste en que marte se acercara a la tierra y se vera igual de grande que la luna. ¿¿A qué distancia tendre que poner a marte para que tenga el mismo diametro aparente que la luna?? Muchas gracias si me ayudan
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Re: Ayuda en cálculo para un novato

Mensajepor GONZALO » 04 Jul 2012, 09:52

El problema es lineal. A doble tamaño doble distancia. Mira el diámetro de Marte y de la Luna y a partir de ahí lo deduces.

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Re: Ayuda en cálculo para un novato

Mensajepor Monopoli » 04 Jul 2012, 12:26

Es decir, suponiendo que D(marte)= 6780 km y D(Luna)= 3474 km. El diámetro de Marte es 1'95 veces mas grande que la luna... ¿eso significa que tendria que ponerlo a una distancia de 1'95 veces mas alejado que la de la tierra y la luna?
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Re: Ayuda en cálculo para un novato

Mensajepor GONZALO » 04 Jul 2012, 12:52

Ves como sabes más matemáticas de las que imaginabas ?

Asi es. De todas formas si te haces un dibujito a mano en un papel te darás cuenta de que esto se cumple si fueran discos planos lo que ves. Al ser esferas cuando están cerca lo que ves no es el diámetro.

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Re: Ayuda en cálculo para un novato

Mensajepor Alex » 04 Nov 2012, 17:31

Hola Monopoli, ya he visto que has resuelto, por deducción lineal, el problema que planteabas a partir de la pista que te proporcionó Gonzalo.

A pesar de ello, y como veo que disponemos de tiempo y no entorpecemos a otros foreros, podría completarse el hilo con los fundamentos matemáticos donde apoyarnos para resolver este y otros problemas similares y que no es otro que las aproximaciones obtenidas al desarrollar las funciones fundamentales de trigonometría: seno, coseno y tangente en series de potencias, (sólo válido para ANGULOS PEQUEÑOS, tal como sucede en las distancias astronómicas o en la óptica geométrica, etc.)

Estas aproximaciones de equivalencia son: (a) = sen(a) = tang(a) (el signo de igualdad debe entenderse de equivalencia, en este caso).
Donde (a) es el ángulo con vértice en nuestro ojo y cuyos lados pasan por los extremos del diámetro del objeto celeste. NOTA: Los ángulos deben expresarse en radianes. 2pi rad = 360º)

De tal modo que el problema que planteas, puede resolverse utilizando estas aproximaciones vistas.

Datos conocidos:
Distancia media a la Luna = 384.000 km
Diámetro lineal de la Luna = 3.476 km
Queremos calcular el diámetro angular de la Luna = (a)

Como (a) = tg (a), tenemos que (a) = Diámetro objeto / distancia. Es decir: (a) = 3.476 / 384.000 = 0,009052 rad = 0º,5454 (o sea, poco mas de medio grado)

Como el diámetro de Marte es de 6794 km y queremos verlo con un diámetro angular de 0º,5454 = 0,009052 rad. Tenemos que:

0,009052 = 6794 / X, de donde, X = 6794/0,009052 = 750552,364 km

Debería obtenerse la misma distancia que se obtiene con el razonamiento que has deducido con las respuestas dadas, si tomas la distancia a la Luna de 384.000 km y operas con 4 ó 5 decimales en la relación de diámetros Marte / Luna.

Otro ejemplo suponiendo otra incógnita:

El ojo humano es capaz de distinguir dos estrellas separadas por un minuto de arco. ¿Cuál sería la altura minima en metros, de un poste situado en la Luna para poder distinguirlo a simple vista? (suponemos que el poste, está suficiente iluminado en sus extremos por dos potentes focos)

Solución:
Datos conocidos: ángulo subtendido = 1’ y distancia = 384000 km.
Queremos calcular la longitud (en altura) del poste.

(a) = long.poste / distancia. Despejamos long. poste

1.- Long. poste = (a) * distancia.

2.- Convertimos un minuto de arco en radianes: 1’ = 2 pi /( 360*60) = 2,90888E-4

3.- Sustituimos en 1: Long.poste = 2,90888E-4 * 384000 km = 111,7 km

Si el poste es mas corto, nuestro ojo no lo podría resolver. En vez de ver los dos focos de los extremos, veríamos un solo foco (eso sí, mas grande...).

Otro problema importante, es el cálculo de la longitud del PARSEC (muy utilizada en astronomía), que no es mas que la distancia a la que se debería situar la U.A. (unidad astronómica) para que subtienda un ángulo de UN SEGUNDO de arco.

Datos conocidos:

Unidad Astronómica = Distancia Sol-Tierra (sería como la long. del poste del ejemplo anterior)
Medida angular (angulo subtendido) = 1” (segundo de arco)
Deseamos calcular la distancia, esto es, la longitud del parsec

1.- 1” = 2pi/(360*60*60) =4,84818E-6 rad
2.- Sustituimos valores en: distancia = diametro / angulo. Es decir:

Pasrsec = 1 ua / 4,84818E-6 = 206264,80 u.a (por redondeo 206.265 ua).

Saludos y perdón por la reactivación (un poco pasada) del hilo.
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Re: Ayuda en cálculo para un novato

Mensajepor GONZALO » 05 Nov 2012, 08:41

Ya veo que te entretienes Alex. Estas nubes....

Ahora falta resolverlo sin aproximaciones... :evil:

A mi me dio mucha pereza en su momento, pero ya que has resucitado el tema voy a ver si me acuerdo de la trigonometría.

Alex
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Re: Ayuda en cálculo para un novato

Mensajepor Alex » 05 Nov 2012, 18:22

Rafa escribió:Ya veo que te entretienes Alex. Estas nubes....
:) :) :) … estos días dan para mucho!....
Ahora falta resolverlo sin aproximaciones...
A mi me dio mucha pereza en su momento, pero ya que has resucitado el tema voy a ver si me acuerdo de la trigonometría.
Bueno, ten en cuenta que son aproximaciones “muy aproximadas” pero que en astronomía son perfectamente asumibles.

La resolución normal es un poco mas larga… pero lo podemos hacer para ver la diferencia, pero ya te digo que será depreciable y eso que la vamos a compara con distancias cortas como es la de la Luna. Cuanto mas pequeño sea el ángulo menos significativa será la diferencia….

Para hacerlo bien, lo primero que tendremos que hacer es trabajar con mas decimales por lo que recalcularemos el diametro aparente de la luna por los dos procedimientos:

1.- Por la aproximación (a) = tg(a) tendremos que tg(a) = 3476 / 384000 = 9,05208333333E-3 = (a) en radianes. Transformando a grados (a) = 0º,518646170801

2.- Por matemática pura y dura: (pongo esquema)
Imagen

Como ves 8 millonésimas de grado no es significativo. Si te vas al Parsec, practicamente lo clavas ya que estamos hablando de un angulo de UN SEGUNDO de arco. En astronomía te vale para todo! (esto es como los jarabes de hace 50 años...)

Saludos a todos!!
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Re: Ayuda en cálculo para un novato

Mensajepor Alex » 05 Nov 2012, 18:46

!!perdonad!! vaya error.... Puse el SENO como di fuese la ¡¡TANGENTE!!. Aunque esto no afecta a la resolucion del problema, no deja de ser un error imperdonable. Para ver que no afecta al problema tendriamos que ver ahora que da lo mismo tomar el Seno que la Tangente.

Vimos como el cateto distancia era igual a la hipotenusa, por lo que el COSENO de a/2 sera = 1, por tanto la TANGENTE = SENO / COSENO = SENO en este caso, por ser el COS=1.

Ahora solo falta tomar el ARCSEN en vez del ARCTG y hacer la corresponeinte transformación de radianes a grados y todavía obtenemos una diferencia ¡menor¡ concretamente 3 millonesimas de grado

Bueno saludos otra vez!
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