Cuestiones de astronáutica (3): cálculos varios

[Telescopio]

Damas y caballeros:

Si habéis hecho bien los deberes, a estas alturas conceptos como impulso específico, DeltaV, velocidad característica de misión o razón de masas no deben ya suponer problema alguno.

Vamos a ver hoy algunas variaciones de los conceptos vistos hasta ahora que complicarán un poquito más las cosas. Empecemos por el cálculo del DeltaV necesario para situarse en órbita circular mínima desde cualquier cuerpo celeste:


donde,
G = constante gravitatoria (0.00000000006673 ó 6,673e–11)
M = masa del planeta (kg)
Pr = radio del planeta (metros)

Ejemplo: calcular el DeltaV mínimo necesario para que un proyectil de vueltas a la Tierra (a "altitud cero" o disparado en horizontal desde lo alto del Everest):

Masa de la Tierra = 5,9742e+24
Radio de la Tierra = 6,378.14e+6

Luego,



es decir, 7.906 m/s (7,9 km/s).

Preguntémonos ahora, a esa velocidad, ¿cuánto tardará el proyectil en dar una vuelta a la Tierra y golpearnos la nuca?

Pues según la fórmula:

T = 2pi r / v

siendo pi = 3,1416

Tenemos que T = (6,38 x 106) / 7904 = 5072 sg., es decir, 84,5 minutos.

Fácil, ¿no?

Tomemos otro caso práctico: un satélite articifial describe una órbita en torno a la Tierra de 7.000 km de radio (unos 1.000 km de altura). ¿Qué velocidad y período de revolución tiene el satélite?. Vamos con ello:

a) Velocidad del satélite:



El satélite se mueve a 7.546 metros/s o 7,546 km/s

En cuanto al tiempo que tarda en dar una vuelta a la Tierra, con la fórmula antes vista:

T = 2pi x r / v

Tenemos que T = (6,28 x 7,e+6) / 7546 = 97,14 minutos

Vamos a ver ahora cómo se calcula la velocidad de escape de un planeta. Para ello, aplicamos la fórmula siguiente:



Os dejo a vosotros el cálculo, pero os adelanto que el resultado en el caso de la Tierra es de 11.180,80 metros por segundo (11,18 km/s).

( Por cierto, si queréis usar la calculadora científica de Windows para estos cálculos, el uso de la notación exponencial es similar al de las potencias. Supongamos que, como en la ecuación de arriba, queremos multiplicar 6,673e–11 por 5,9742e+24, hacemos lo siguiente:

1) escribimos 6,673
2) pulsamos el botón Exp
3) escribimos 11
4) cambiamos el signo con el botón ±
5) Pulsamos =

Requiere un poco de práctica pero es más cómodo que manejar montones de ceros. )

Para los más interesados en el estudio de estas y otras ecuaciones, les remito a algunas páginas web muy interesantes donde podrán encontrar (en inglés y español) explicaciones y ejemplos más detallados:

Satellites and Universal Gravitation
http://online.cctt.org/physicslab/conte ... llites.asp

Dinámica celeste (excelente sitio web, no os lo perdáis)
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celes ... yectil.htm

Orbital Mechanics (muy buena web, con abundancia de datos y gráficos, en inglés)
http://www.braeunig.us/space/orbmech.htm

Bueno, pues hasta aquí llegamos en el uso de algunas ecuaciones fundamentales de la astronáutica. Podríamos seguir enredando y complicando las explicaciones, pero creo que de momento es más que suficiente.

Quedaría, sin embargo, un conjunto de ecuaciones muy interesante que es el de aquellas que permiten preveer el comporamiento de un cohete durante el ascenso: velocidad en cada fase del vuelo, efecto de la gravedad y de la resistencia del aire, fuerza desarrollada, etc. El cálculo de todas las variables durante el lanzamiento de un cohete de varias fases o etapas es especialmente laborioso, aunque desde el punto de vista de la dificultad matemática no requiere de nada más sofisticado que una calculadora científica estándar, lápiz y papel. Hay webs en Internet de aficionados a la cohetería donde podréis encontrar mucha información, fórmulas y ejemplos. En este sentido os recomiendo la web Rocket Equations en:

http://my.execpc.com/~culp/rockets/rckt_eqn.html


parte de las ecuaciones necesarias para
determinar la altitud alcanzada por un
cohete multifase

Bien, en la próxima entrega, nos dejaremos de profundidades matemáticas y estudiaremos los dos sistemas de propulsión espacial que, de cara a viajes tripulados interplanetarios, tienen más posibilidades de llegar a ser empleados: los motores térmico-nucleares y los de plasma.

Saludos cordiales,

[ramsonian]

Lo dicho... Todo esto merece la pena que lo guarde alguien!

[Jomlop]

Si seguimos con estas lecciones de astronáutica dentro de poco podremos comenzar con un proyecto de satélite propio

Magnifico, tengo que sentarme y revisar todo esto, lo voy leyendo a saltos y siempre me interesó el tema. Además viene hasta con un cursillo de uso de la calculadore científica del Windows ¡qué completo!

[ramsonian]

jajaja jomlop... ya te vale )

[Alex]

Otra fórmula equivalente, creo que mucho más sencilla, para realizar los cálculos para los lanzamientos de SAT es:

v=raiz(g.R) cuando se quiere calcular la velocidad de un supuesto proyectil a una altura 0 (es decir a nevil del mar).

v=raiz(9,81*6378000)=7910=7,91km/seg (esta velocidad es conocida internacionalmentecomo "primera velocidad cósmica").

Por la misma razón, si quieres calcular la velocidad en la orbita a una cierta altura (h) desde la superficie de la corteza terrestre:

v=raiz(g.R^2/R+h) en el ejemplo que pones;

v=raiz(9,81*6378000^2/(7000000)=7550,4 m/seg=7,55 km/seg. (especificando que el satelite orbitaria a una altura de 7000-6378=622 km

Esta velocidad es conocida como "segunda velocidad cósmica. Y si quieres puedes tambien calcularla con otra fórmula, si previamente has calculado la "primera velocidad cósmica" (velocidad que en realidad es una "constante" para las agencias espaciales, por lo que directamente proceden con:

V=v*raiz(R/(R+h)) donde V=segunda velocidad cosmica; v=primera velocidad cósmica (constante). Siguiendo con los ejemplos propuestos tendriamos V= 7,91km/seg*raiz(6378km/(6378km+622km))=7,55 km/seg

Saludos

[Telescopio]

Otra fórmula equivalente, creo que mucho más sencilla, para realizar los cálculos para los lanzamientos de SAT es:

v=raiz(g.R) cuando se quiere calcular la velocidad de un supuesto proyectil a una altura 0 (es decir a nevil del mar).

v=raiz(9,81*6378000)=7910=7,91km/seg (esta velocidad es conocida internacionalmentecomo "primera velocidad cósmica").

Por la misma razón, si quieres calcular la velocidad en la orbita a una cierta altura (h) desde la superficie de la corteza terrestre:

v=raiz(g.R^2/R+h) en el ejemplo que pones;

v=raiz(9,81*6378000^2/(7000000)=7550,4 m/seg=7,55 km/seg. (especificando que el satelite orbitaria a una altura de 7000-6378=622 km

Esta velocidad es conocida como "segunda velocidad cósmica. Y si quieres puedes tambien calcularla con otra fórmula, si previamente has calculado la "primera velocidad cósmica" (velocidad que en realidad es una "constante" para las agencias espaciales, por lo que directamente proceden con:

V=v*raiz(R/(R+h)) donde V=segunda velocidad cosmica; v=primera velocidad cósmica (constante). Siguiendo con los ejemplos propuestos tendriamos V= 7,91km/seg*raiz(6378km/(6378km+622km))=7,55 km/seg

Saludos

Sí, tienes razón. Debería haber mencionado lo de las velocidades cósmicas, pero bueno... creo que con tu post queda muy bien aclarado. Puestos a no hablar, tampoco he citado a Kepler y es fundamental para entender el movimiento orbital.

De todas formas, recomiendo a los más interesados que visiten las webs señaladas en mi post. Encontrán muchísima información y podrán estar haciendo cálculos -ya con la calculadora de Windows, ya con un ábaco (los más hábiles)- muchas, pero muchas horas.

Saludos

[Alex]

Saludos. Telescopio he intentado leer los links pero estan en inglés por lo que desisto del intento.

Complementando tu interesante post sobre las velociades mínimas que habria que alcanzar en el lanzamiento de un SAT, (y ante tu anuncio de no incidir mas sobre este tema) podríamos añadir algo más, teniendo en cuenta que en la práctica ninguna agencia espacial se atrevería a poner en órbita un SAT con la velocidad mínima circular. Siguiendo con tu ejemplo, se ve que para que un SAT se ponga en órbita a 622 km. de la superficie terrestre haría falta una velocidad mínima de 7,55 Km/seg en el momento que el SAT cambia su dirección y se pone perpendicular al radio ascendente (entra en órbita) exactamente a 622 km de altura,(si se dan estas condiciones la órbita sería circular) pero tendriamos que tener en cuenta otra relación fundamental para saber que pasaría si: o no se alcanza la altura que deseamos o que la velocidad en ese momento no sea la mínima de 7.55 km/seg (si es muy inferior el SAT caerá a tierra antes de completar una vuelta). Esta relación es:

V^2=G.m(2/r - 1/a) donde V=velocidad en el momento de entrada en la órbita; m=masa de la tierra; r=altura de la órbita (en nuestro ejemplo 622 km); a=semieje de la órbita del SAT en el caso en que la velocidad de entrada en órbita no sea la velocidad circular (7,55 km/seg calculados.)

Se da por supuesto y por sabido que:

Si V es igual a la Velocidad circular en la altura dada(h), la órbita será circular
Si V es superior a la Velocidad circular, la órbita será una elipse donde, además, el perigeo se encontrará en el punto de entrada en la órbita
Si V es algo (muy poco) inferior a la Velocidad circular, la órbita será una elipse pero en esta ocasión el punto de entrada en la órbita sería el apogeo (este satelite terminaría callendo a la tierra)
Si V es inferior a la circular, el satelite no completará ninguna vuelta.

Calculado "a" ya por la tercera ley de Kepler podriamos obtener el periodo T, mediante T=(2pi. a^3/2) /(raiz(G.m)) o si es menos complicado (por evitar G y m) podriamos sustituirla por T=(2pi.a^3/2)/(r.raiz(g)).

Por último calcularíamos la excentrididad (e) de la órbita elíptica (caso mas que probable para todas las órbitas de los SAT)

e=1-(q/a) donde q=distancia del perigeo; a=semieje mayor de la orbita (calculado anteriormente)

Más saludos...

[Telescopio]

Saludos. Telescopio he intentado leer los links pero estan en inglés por lo que desisto del intento.

Complementando tu interesante post sobre las velociades mínimas que habria que alcanzar en el lanzamiento de un SAT, (y ante tu anuncio de no incidir mas sobre este tema) podríamos añadir algo más, teniendo en cuenta que en la práctica ninguna agencia espacial se atrevería a poner en órbita un SAT con la velocidad mínima circular. Siguiendo con tu ejemplo, se ve que para que un SAT se ponga en órbita a 622 km. de la superficie terrestre haría falta una velocidad mínima de 7,55 Km/seg en el momento que el SAT cambia su dirección y se pone perpendicular al radio ascendente (entra en órbita) exactamente a 622 km de altura,(si se dan estas condiciones la órbita sería circular) pero tendriamos que tener en cuenta otra relación fundamental para saber que pasaría si: o no se alcanza la altura que deseamos o que la velocidad en ese momento no sea la mínima de 7.55 km/seg (si es muy inferior el SAT caerá a tierra antes de completar una vuelta). Esta relación es:

V^2=G.m(2/r - 1/a) donde V=velocidad en el momento de entrada en la órbita; m=masa de la tierra; r=altura de la órbita (en nuestro ejemplo 622 km); a=semieje de la órbita del SAT en el caso en que la velocidad de entrada en órbita no sea la velocidad circular (7,55 km/seg calculados.)

Se da por supuesto y por sabido que:

Si V es igual a la Velocidad circular en la altura dada(h), la órbita será circular
Si V es superior a la Velocidad circular, la órbita será una elipse donde, además, el perigeo se encontrará en el punto de entrada en la órbita
Si V es algo (muy poco) inferior a la Velocidad circular, la órbita será una elipse pero en esta ocasión el punto de entrada en la órbita sería el apogeo (este satelite terminaría callendo a la tierra)
Si V es inferior a la circular, el satelite no completará ninguna vuelta.

Calculado "a" ya por la tercera ley de Kepler podriamos obtener el periodo T, mediante T=(2pi. a^3/2) /(raiz(G.m)) o si es menos complicado (por evitar G y m) podriamos sustituirla por T=(2pi.a^3/2)/(r.raiz(g)).

Por último calcularíamos la excentrididad (e) de la órbita elíptica (caso mas que probable para todas las órbitas de los SAT)

e=1-(q/a) donde q=distancia del perigeo; a=semieje mayor de la orbita (calculado anteriormente)

Más saludos...

Excelentes precisiones. Creo que si al final los responsables de la web deciden conservar estos post en un FAQ o algo parecido, habrá que incluirlas en un anexo. Sólo habría que coger el generador de ecuaciones de Word y ponerlas de forma gráfica.

Saludos