Ecuación Diferencial

franc · Mensajepor **franc** » 27 May 2008, 11:48

¿Alguien sabría explicar que es? ¿son necesarias en cosmología? ¿cómo se distingue una lineal de otra que no lo es? ¿se puede solucionar ésta?

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saludos

nandorroloco · Mensajepor **nandorroloco** » 27 May 2008, 12:22

Una ecuación diferencial a diferencia de una ecuación normal tienen términos que son derivadas y segundas derividas de alguna de las variables. Son unas ecuaciones muy útiles en física e ingeniería, ya que puedes expresar condiciones variables dentro de una misma ecuación y son cosas comunes en el mundo real. Te pondré el ejemplo típico... imagina que tienes un grifo que llena un bidón... pero este a su vez tiene un agujero... cuanta más altura más presión y el agujero desagua con mayor caudal... pues las ecuaciones diferenciales nos ayudan a resolver este tipo de problemas. Y creo que para cosmología... son imprescindibles.
Pero... lo que no te he contado, es que las ecuaciones diferenciales suelen dar como resultado un espacio infinito de soluciones... Sí, un montón de soluciones posibles... De manera que para un determinado problema no es suficiente con plantear la ecuación del sistema, sino que además hay que aportar la condición inicial, que es la que hace que elijamos una única ecuación resultado de las infinitas. En el ejemplo que te he puesto... el bidón se vaciará o se llenará, dependiendo del caudal de entrada y de la cantidad de líquido que contenga, estas son las condiciones iniciales.

Y de resolver la que has puesto... pues ni idea... ya ni me acuerdo (aunque era una fiera)...

Saludos.

franc · Mensajepor **franc** » 27 May 2008, 14:55

Se pide

y

El valor

puede ser una constante cualquiera.

saludos

cosmicoman · Mensajepor **cosmicoman** » 27 May 2008, 15:53

Una ecuación diferencial es lineal si se puede escribir en la forma

An(x)dy(n)/dx +An-1(x)dy(n-1)/dx + ..... + A1(x)dy/dx = B(x)

siendo An y B una serie de coeficientes sólo función de la variable x y siendo dy(n)/dx la derivada enésima de la función incógnita y.

Perdona que no quede muy claro, pero no he sido capaz de escribir subíndices y superíndices.

La ecuación que tú has puesto es no lineal, ya que aparecen términos con las derivadas de las funciones, y con las propias funciones, y(x) y z(x) elevadas al cuadrado.

Saludos

m3ntol · Mensajepor **m3ntol** » 27 May 2008, 15:55

franc escribió:¿Alguien sabría explicar que es?

Como ha dicho nando, son ecuaciones en las que las variables contienen términos con derivadas. Expresan relación de cambio, por ejemplo, una fuerza dependiente de la distancia de la manera F=-k X es una ecuación diferencial ya que la fuerza es proporcional a la aceleración que a su vez es segunda derivada de X de modo que

x'' = -k x

Es decir, una ecuación cuya segunda derivada sea ella misma cambiada de signo

x = sin (x)

Y al integrar te apereceran una serie de constantes que definen las condiciones iniciales del movimiento que, en este caso es el movimiento armónico simple.

franc escribió: ¿son necesarias en cosmología?

Imprescindibles. Toda ecuación dinámica que implique posiciones y fuerzas es diferencial.

franc escribió:¿cómo se distingue una lineal de otra que no lo es?

Las lineales contienen los términos derivados sin elevar a ninguna potencia. Esa no es lineal.

franc escribió:¿se puede solucionar ésta?

Si pudieras dar más datos sería mejor. ¿Que representa esa ecuación?

franc · Mensajepor **franc** » 27 May 2008, 16:15

franc escribió:Se pide y El valor puede ser una constante cualquiera.

saludos

Gracias a todos por la información. Perdonad por tantas preguntas, es que estoy repasando matemáticas, y aunque las ecuaciones de segundo grado ya son pan comido, entiendo que las diferenciales tienen un nivel muy superior. Así que las dejaremos tranquilas de momento.

M3ntol, si puedo te aporto más datos.

saludos

franc · Mensajepor **franc** » 27 May 2008, 16:56

La fórmula es un intento de explicación cosmológica. Pero hay trampa, se necesita al menos otra ecuación diferencial para completar el sistema.

saludos

cosmicoman · Mensajepor **cosmicoman** » 27 May 2008, 17:01

Ya casi no me acuerdo de estos temas, pero esta ecuación sí que se puede resolver, ya que trasteando un poco he encontrado una solución particular:

y(x)=z(x)=e^(a.x) (el número e elevado a a por x)

Pero claro, esto es sólo una solución particular. Lo suyo sería poder encontrar la solución general....

Saludos

cosmicoman · Mensajepor **cosmicoman** » 27 May 2008, 17:04

Entonces la solución particular que he puesto podría representar un universo que se expande de forma exponencial en el tiempo...

Saludos

m3ntol · Mensajepor **m3ntol** » 27 May 2008, 18:18

franc escribió:entiendo que las diferenciales tienen un nivel muy superior. Así que las dejaremos tranquilas de momento.

aahh, las ecuaciones diferenciales son el mejor ejemplo de lo puñetera que es la vida :lol:

Expresan un concepto sencillísimo y totalmente intuitivo pero que al intentar resolver ¡¡te puede dejar seco el cerebro!!

Por ejemplo, las ecuaciones de la gravitación de newton dicen que la fuerza de atracción de dos cuerpos es proporcional a su masa y inversamente porporcional al cuadrado de la distancia, es decir (para simplificar cambio el sistema de medida de masa para hacer G=1):

F = masa 1 * masa 2 / distancia ^2

Facilísimo de entender... doble de masa implica ¡doble de fuerza!, doble de distancia implica ¡4 veces menos fuerza! y por tanto de aceleración.

Sin embargo, si intentamos resolver esta ecuación para tres cuerpos, simplemente ¡NO SE PUEDE! triste pero así es la vida.

Afortunadamente, las matemáticas tienen recursos para aproximar el cálculo tanto como se quiera, pero no existe una solución general para tres cuerpos.