Sobre el Teorema de Nyquist.

[matelunga]

Muchos aficionados aplican maquinalmente el teorema de Nyquist, la verdad no saben que se llama así, simplemente usan la formula:

[tex]Resolucion={TamanoPixel \over focal}*206265[/tex]

Donde el "Tamaño Pixel" y la focal están en milímetro, y la resolución en arcos de segundo. y luego dicen la Resolución debe estar entre 2" y 3" que de alguna manera el un limite que impone la atmósfera.

Bueno esto no resulta para nada intuitivo y de hecho no es preciso, buscando una buen artículo sobre como se explica que esto no es en realidad así, encontré esto:

http://tinyurl.com/TeoremaNyquist

espero les guste y les sirva.

Un saludo,
Pablo

[nandorroloco]

La fórmula que indicas es el cálculo del poder resolutivo del pixel en segundos de arco.
El teorema de Nyquist habla sobre el muestreo de una señal periódica...

Bueno a veces hemos hablado sobre cómo muestrear... resolución... binings y cosas de esas... y en estos temas me suelo enrollar bastante (si tengo tiempo).
Esto... que esa fórmula no tiene nada que ver con el teorema que indicas, hasta el momento que alguien se plantea cómo tiene que muestrear una imagen... entonces... ahí... necesita saber la resolución de su sistema de captura... y por ello... hecha mano de esa fórmula.

Y una pregunta... ¿dónde has visto la periodicidad en una imagen con estrellitas?... si Nyquist nos permite muestrear una señal periódica... y nuestra imagen no tiene ningún patrón regular, ya que la estrellas se distribuyen de manera aleatoria... ¿como nos ayuda este teorema?¿o de qué nos sirve?...

Saludos.

[chachini]

Y una pregunta... ¿dónde has visto la periodicidad en una imagen con estrellitas?... si Nyquist nos permite muestrear una señal periódica... y nuestra imagen no tiene ningún patrón regular, ya que la estrellas se distribuyen de manera aleatoria... ¿como nos ayuda este teorema?¿o de qué nos sirve?...

Saludos.

Sin pensar ni un segundo como aplicar el teorema de Nyquist a una imagen CCD y hablando más académicamente que de forma práctica, sólo decir que el teorema de Nyquist nos dice que podemos recuperar la señal original si muestreamos al doble de la frecuencia máxima de la señal origen, no es necesario un periodo constante o uniforme, tan sólo un límite.

Esto es lo que se usa en un Cd por ejemplo, se muestrea a 44Khz para poder recuperar señales de hasta 22Khz (límite del oído humano), esto no quiere decir que la señal original tenga que estar a 22Khz por narices (menuda tortura entonces )

Un saludo

[compostela]

Y una pregunta... ¿dónde has visto la periodicidad en una imagen con estrellitas?... si Nyquist nos permite muestrear una señal periódica... y nuestra imagen no tiene ningún patrón regular, ya que la estrellas se distribuyen de manera aleatoria... ¿como nos ayuda este teorema?¿o de qué nos sirve?...

Continuando con la explicación de chachini, estríctamente ni siquiera es necesario que la señal sea periódica para aplicar Nyquist al muestreo de la misma. Casi cualquier señal puede ser aproximada por una suma de señales sinusoidales (periódicas por tanto) de diferente frecuencia y fase. Si la señal original es periódica podemos aproximarla por una serie de senoidales (Serie de Fourier) y si no es periódica, por un sumatorio infinetesimal (una integral) de senoidales (Transformada de Fourier). Según Nyquist, si muestreamos una señal al doble (o más) de la frecuencia de la senoidal más alta obtenida aplicando la aproximación de Fourier, podemos recuperar la señal original sin pérdida de información. Esto se aplica a la digitalización de cualquier señal; por ejemplo, siguiendo la exposición de chachini, cuando se digitaliza una canción se muestrea a una frecuencia superior a los 40KHz, pues la descomposición de una señal de audio en senoidales nunca va a dar como resultado una senoidal de más de 20KHz (y si la da puede despreciarse porque no sería un sonido, pues el oido humano no lo captaría).

Respecto a fotografía tengo muy poca idea, pero tengo la impresión de que la fórmula que expone matelunga no es una derivación de Nyquist, es simplemente el cálculo del campo real que se abarca en el área que ocupa un pixel en función de los parámetros físicos del equipo (de su focal). Ahora sí, aplicando Nyquist, si la resolución obtenida a partir de esa fórmula es igual o superior a la resulución de la imagen que se obtiene con el telescopio (¿límite de Dawes?) sabremos que (en teoría) no se ha perdido información en la fotografía.

[nandorroloco]

pero tengo la impresión de que la fórmula que expone matelunga no es una derivación de Nyquist

Es lo que digo... creo que nuestro colega no lo tiene muy claro

lo que hago preguntas retóricas... para que no se muera el hilo o para que se reflexione sobre el tema.

[mbravo]

Continuando con la explicación de chachini, estríctamente ni siquiera es necesario que la señal sea periódica para aplicar Nyquist al muestreo de la misma. Casi cualquier señal puede ser aproximada por una suma de señales sinusoidales (periódicas por tanto) de diferente frecuencia y fase. Si la señal original es periódica podemos aproximarla por una serie de senoidales (Serie de Fourier) y si no es periódica, por un sumatorio infinetesimal (una integral) de senoidales (Transformada de Fourier). Según Nyquist, si muestreamos una señal al doble (o más) de la frecuencia de la senoidal más alta obtenida aplicando la aproximación de Fourier, podemos recuperar la señal original sin pérdida de información. Esto se aplica a la digitalización de cualquier señal;

Totalmente de acuerdo. Acordemonos que si no cumplimos el teorema de Nyquist sufriremos de aliasing, lo que supone un solapamiento espectral a la hora de reconstruir la señal, lo que conlleva un degradamiento de la misma irreparable.

Por otro lado, lo de las señales periodicas no es totalmente correcto, si en nuestra señal a muestrear tenemos frecuencias por encima de la mitad de la frecuencia de nyquist, estas entraran en solapamiento no pudiendo recuperarlas. Como apunte, decir que si muestreamos una señal a menos frecuencia de la de nyquist tendremos una perdida de informacion irrecuperable.

Un saludo

[compostela]

si en nuestra señal a muestrear tenemos frecuencias por encima de la mitad de la frecuencia de nyquist, estas entraran en solapamiento no pudiendo recuperarlas

Por la propia definción de la "frecuencia de Nyquist", la señal original no tiene componentes por encima de la mitad de dicha frecuencia. La frecuencia de Nyquist es precisamente el doble de la componente más alta de la señal original. Lo que ocurre es que muchas veces la señal tiene un espectro muy grande y, por razones de economía, se muestrea a una tasa inferior a la de Nyquist.

si muestreamos una señal a menos frecuencia de la de nyquist tendremos una perdida de informacion irrecuperable.

Si se muestrea a una tasa inferior a la de Nyquist es necesario filtrar la señar original (precisamente eliminar las componentes que superan la mitad de la frecuencia de Nyquist), perdiéndose información, pero evitando el desagradable aliasing.

Un saludo.

[compostela]

lo que hago preguntas retóricas... para que no se muera el hilo o para que se reflexione sobre el tema.

Perdona, no lo había pillado como pregunta retórica . De hecho la pregunta que habías dejado en el eter me parece totalmente lógica ... y ha tenido el efecto que buscabas: a mi me ha hecho reflexionar y recordar algunas de las asignaturas relacionadas con esta temática que estudié en la carrera, ya hace unos cuantos añitos.

Un saludo.

[mbravo]

Gracias Compostela. A la hora de explicar he soltado una incongruencia No es posible que haya frecuencias de una señal por encima de la mitad de su frecuencia de Nyquist ya que esta mitad es la frecuencia mayor...
A lo que me queria referir es que si muestreamos por debajo de la frecuencia de nyquist se produce aliasing... que como bien dices evitamos filtrando antes o, incluso, despues.

Gracias por aclarar el concepto y un saludo

[nandorroloco]

lo que hago preguntas retóricas... para que no se muera el hilo o para que se reflexione sobre el tema.

Perdona, no lo había pillado como pregunta retórica . De hecho la pregunta que habías dejado en el eter me parece totalmente lógica ... y ha tenido el efecto que buscabas: a mi me ha hecho reflexionar y recordar algunas de las asignaturas relacionadas con esta temática que estudié en la carrera, ya hace unos cuantos añitos.

Nada... tranquilo no te has de preocupar... de vez en cuando suelto algunos rolletes sobre estas cosas... es que a veces me da pereza repetirlos. Veo que no habéis hablado de la transformada rápida de fourier para el análisis de una señal no periódica como método de calculo para aproximar una transformada discreta de fourier... U otra... imagina que tienes una cámara con 1 bit... detecta el fondo del cielo... o que hay una estrella... esto es parecido a una onda cuadrada, es fácil entender que tienes una secuencia de ceros, unos y ceros, donde los unos... representan que la estrella se ha detectado por el sensor, una onda cuadrada si aplicamos la transformada de fourier tiene infinitos armónicos... osea componentes en todos el espectros frecuencial... ¿qué frecuencia necesitamos para muestrearla?
Está bien recordar esos conocimientos...
Eso ¿alguien sabe de donde sale el número 206265 que hay en la fórmula?



Pista... Si multiplicas 360 grados, por 60 minutos, por 60 segundos y lo divides por 2 pi (radianes de una circunfencia ) obtienes este número... te permite pasar de radianes a segundos de arco, sus dimensiones serían [arcsec/radian]... ¿qué hace ese número ahí?!!!