La mágia de los números

[Guest]

Bravo Alex, lo complemento:

0! = 0^º = 1

¿Quién da más?.

Saludos del Abuelo.

[Alex]

Buena aportación, carlos.

Siguiendo con los números hay resultados que te sorprenden, por inesperados.

Por ejemplo, ¿cuanto suman los inversos de los cuadrados de TODOS los numeros naturales?

Esta suma fue planteada en 1644, y matematicos de la talla de Bernoulli, Leibnitz y algunos otros, no menos celebres, no pudieron resolver. Como casi siempre fu el el genio Euler el que logro sumar los infinitos terminos de esta serie, y el resultado no deja de ser sorprendente:


Cualquiera se imaginaría el numero PI en esta suma!!!

Saludos!!

[Guest]

Tampoco conocía este resultado, que siendo Euler quien lo logró, debe ser cierto, aunque más que sorprender, parece contrario a lo estipulado por la matemática. Mira como lo veo:

La suma infinita de la serie, del cuadrado de los números naturales, la indefinimos, o sea, es un valor infinito.

La inversa del infinito, es la unidad dividida por infinito y esto debería darnos por resultado cero, si nos centramos al resultado final, pero como es la suma de cada valor de la serie de inversas, a la unidad del primer término, hay que sumar infinitas cantidades decrecientes, hasta cero.

En este caso Euler consideraría que la serie decreciente, podía transformarse con un límite concreto, pero no alcanzo a sacar tal conclusión.

El primer término de la serie, sería uno y el último, inalcanzable, sería uno dividido por el cuadrado de infinito, o sea, cero.

Hay que sumar al uno con el cero infinitas veces para sacarle el promedio....
El resultado, parece que debería ser 1/2* infinito = infinito.

Consecuencia, según se mire, obtengo el resultado poco superior a la unidad, o el de infinito.

Euler consideraría la resolución de la serie de otra manera para obtener el concreto resultado entre los dos intuidos.
Enfín. ¿Donde está el truco para eliminar los infinitos?. La intervención de pí al cuadrado, a él se le presentaría como diáfana consecuencia de una serie, que de algún modo demostraría ser cíclica, supongo.

Saludos del Abuelo.

[franc]

Alex permíteme hacer un inciso al algo que no debe sorprendernos:

3! = 2!x3 Ok? Entonces despejando 2! tenemos 2! = 3!/3
2! = 1!x2 Ok? Entonces despejando 1! tenemos 1! = 2!/2
1! = 0!x1 Ok? Entonces despejando 0! tenemos 0! = 1!/1 = 1

¿Quien lo diría!!...


Yo pregunto ¿es esto: 0! igual a esto: 0?

Si no lo es, entonces no debe sorprendernos que 0! sea igual como mínimo a 1, y por lo tanto mayor que 0.



saludos

[Alex]

Carlos tus deducciones sobre el problema de Basilea, son de lo mas "logico" seguramente por eso no pudieron hacer la suma grandes matematicos como Leibnitz... Pero Euler ya sabes... Todo se basa en la conocida identidad de Euler:

Franc, respecto a tu pregunta, efectivamente no nos tiene que sorprender en cuanto le prestes un poco de atención... pero asi a botepronto! no deja de sorprender, aunque sea solo un poco...

4! = 4x3x2x1; 3! = 3x2x1; 0! =1 (intuitivamente podria pensarse 0!=0x1)

Y ahora que te tengo a mano y se que te gustan los numeros, mirate estos: NUMEROS DE DUDENEY

8X8X8 = 512 y 5+1+2=8 --> raizcubica(512)=8
17X17X17= 4913 y 4+9+1+3 = 17, que es igual a la raiz cubica de 4913
18x18x18 = 5832 y 5+8+3+2 =18... otro mas..
26x26x26 = 17576 y 1+7+5+7+6 = 26

Saludos

[Alex]

Una de las cosas mas fascinantes es ver las matematicas del Antiguo Egipto (2000 a.C), donde ya se impartian clases de matematicas a los niños. El papiro de Ahmes (Museo Britanico) es un compendio de problemas y metodos de cálculo muy curioso, por complicado!! pero ellos se entendian asi mejor...

Antes de ver un problema, hay que mencionar las fraccione egipcias, que son fracciones cuyo numerador es siempre la unidad, y con las cuales pueden representarse cualquier numero racional (puede demostrarse). Ellos se entendian mejor, tanto para operar, como para "ver" la cantidad, utilizando la suma de varias fracciones egipcias en vez de un numero fraccionario cualquiera.

Por ejemplo, si tenian que operar con la fraccion 15/18 que les mareaba, la descomponian por ejemplo en 1/2 + 1/3, que es lo mismo, pero NO LAS SUMABAN... querian trabajar siempre con fracciones cuyo numerador fuese siempre UNO. Si querian repartir 15 panes entre 18 hombres, a cada uno le daban 1/2 pan y 1/3 de pan (esto sería una especie de cuenta de la vieja) Cortaban 9 panes por la mitad y los otros 9 los cortaban en tres trozos cada uno y tocaban a trozo de 1/2 y otro de 1/3 por barba.

El tal Ahmes, edito unas tablas para dar en las escuelas que representaban n/10 con n={1,2...9} y otra con 2/n con n>5, n{1,2,... 101} y con estas dos tablas se las arreglaban... para mi que con un lio acojonante..! (las tablas venian a decir).

1/10 = 1/10
2/10 = 1/5
3/10 = 1/5 + 1/10 (ya empezaos a complicarnos)
4/10 = 1/3 + 1/15
5/10 = 1/2
6/10 = 1/2 +1/10 (bueno y asi hasta 9/10 = 2/3 + 1/5 + 1/30 (aqui se cuela el 2/3 que era tambien una fraccion que entendian bien)

y la otra 2/n, pues igual por ejemplo 2/27 la reducian a 1/18+1/54

Problema 26 del Papiro:
Traduccion: "Una cantidad y su cuarto se convierten en 15. Calcular la cantidad."

Para nosotros sería x+x/4=15 --> x = 12 (sale de cabeza). Pero el metodo egipcio era:

1.- Toma el 4 y entonces toma un cuarto de él, en 1. En total 5" (Esto se supone que es 4+4/4=5)
2.- Divide entre 5, 15 y obtienes 3"
3.- Multiplica 3 por 4 obteniendo 12, cuyo referido 1/4 es 3, en total 15"

Manda narices los pobres niños!! el que aprobara con estas "explicaciones" iba para faraón!!

En otra ocasion iremos viendo algunos porblemas del año 2000 a.C, por supuesto egipcios!

Saludos!!

[franc]

Gracias Alex por tantas curiosidades matemáticas.



saludos

[Alex]

La paradoja del barbero, o paradoja de Russell, podría ser una de las mas importantes en el mundo de las matemáticas, por su transcendencia:

Exsiten muchas versiones populares, pero en lo fundamental, dice:

En una ciudad, donde solo había un barbero, el alcalde promulgo el siguiente edicto: "El único barbero de la ciudad solo afeitará a las personas que no puedan hacerlo por si mismo".

El barbero no paraba de darle vueltas a este edicto y cuanto mas lo hacía menos lo entendia.... hasta el punto de tener que acudir a asesosarse a los mas afamados matemáticos de la ciudad.... quienes ¡tampoco pudieron resolverle su consulta!! Sres. matemáticos ¿Quien me afeitará a mi?

Esta paradoja, se puede decir que fue transcendente, por lo menos para Ferge y tambien para la teoría de conjuntos y la lógica matemática.

Uno de los Principios Básicos que Ferge propuso a la comunidad matemática era este:

"Para toda propiedad O(X), definible en la teoría, exsiste un conjunto Y, cuyos elementos son exactamente los conjuntos X que cumplan la propiedad O(X)" En lenguaje matemático podría quedar asi: Y={X | O(X)}
Esto es: primero definimos clara y concretamente una propiedad: Sombreros Rojos donde S=Conjuntos de Sombreros y la propiedad O(S)=Rojos y asi construimos el conjunto Y={S | rojos}

(NOTA: en Matemáticas existen los conjuntos con un solo elemento, por lo que un Sombrero Rojo, de un modelo determinado de un bebé, por ejemplo, es un Conjunto de Sombreros Rojos, con un solo elemento)

Salduos. Ya se me olvidaba! por cierto ¿Quien afeitará al barbero?

[franc]

Alex, el barbero se afeitará a sí mismo, al formar parte de los elementos que forman el conjunto de todos aquellos que pueden afeitarse por sí mismos, y que en éste caso coincide con su condición de barbero.

Hay otro que dice:

En cierta ocasión, Platón dijo que Sócrates era un mentiroso, a lo que Sócrates respondió: "Platón dice la verdad, es cierto"

Si Platón dice la verdad, entonces Sócrates no miente y Platón es un mentiroso, si entonces Platón es un mentiroso, entonces Sócrates miente cuando dice que "Platón dice la verdad". Y se hace eterno.

¿Quién de los dos miente?


saludos

[m3ntol]

Enfín. ¿Donde está el truco para eliminar los infinitos?. La intervención de pí al cuadrado, a él se le presentaría como diáfana consecuencia de una serie, que de algún modo demostraría ser cíclica, supongo.

Saludos del Abuelo.

En el cálculo infinetismal. Todos los que hemos completado la secundaria hemos eliminado infinitos resolviendo cualquier integral.