La mágia de los números

[Alex]

Si hay algo tan extraordinario (para mi) como la astronomía, es la mágia de los números. Pongo algún ejemplo, soilcitando a los que mas les inquieten los números, añadan otras curiosidades y maravillas númericas.

El número PHI. Seguramente el más conocido. El de la Proporción Aúrea.
El maravillos e irreptetible número irracional 1,6180339887... Descubierto por Euclides (fundador de la geometría como sistema deductivo formal) como relación de "la media y extrema razón" que el propio Euclides definió:

"Se dice que un segmento está dividido en media y extrema razón, cuando el segmento total es a la parte mayor, como la parte mayor es a la parte menor" AB/AC=AC/CB=1,6180339887...

A|-------------------------------------------|C--------------------|B

Si hacemos que el segmento menor CB=1 encontraremos el valor (x) de AC, resolviendo la ecuación: (x+1)/x = x/1, o, x^2-x-1=0, y tenemos dos valores: (1+RAIZ(5))/2 y otra (1-RAIZ(5))/2 la solución positiva es el numero PHI. De la ecuación anterior deducimos que podemos obtener el cuadrado del numero PHI, simplemente sumando la unidad al propio numero PHI, es decir 1+1,6180339887 = 2,6180339887... pero si lo que queremos es obtener el inverso de PHI, solo tendremos que restar la unidad al propio PHI, que además es la solución negativa de la ecuación de segundo grado antes expuesta.

Se han logrado calcular los primeros 10 millones de decimales!! en 1996

Los algebristas, no paran de asombrarnos... si quiereis comprobar que expresiones como:

raiz((1+raiz(1+raiz(1+raiz(1+raiz1+raiz(1+ ...)) = PHI o la fracción continua mas sencilla del mundo:
1+1/(1+1/(1+1/(1+... = PHI

La media y extrema razón, es utilizada en arquitectura por su belleza estetica, se da tambien en la naturaleza e incluso en el cosmos (esto último yo no me lo creo mucho.. pero eso dicen).

Me imagino el disgusto de Pitagoras al comprobar que este asombroso número no puede escribirse mediante una proporcion de números naturales.

Aunque Pitagoras si que podía sentirse muy satisfecho por otro curioso número, 1/7 ... que merece la pena estudiarlo!porque sus propiedades son también asombrosas y este si que es un numero racional!

[Kyba]

La media y extrema razón, es utilizada en arquitectura por su belleza estetica, se da tambien en la naturaleza e incluso en el cosmos (esto último yo no me lo creo mucho.. pero eso dicen).

[HAL9000]

¿No habeis visto la película PI?

http://es.youtube.com/watch?v=JRgIbKEsYT4&feature=related

Dadle a la mula, seguro que os encanta...

[inavarro88]

Quien pudiera llegar a iluminar todos los rincones de la metamática... Estas cosas le dejan a uno empequeñecido.

Siguiendo el post de HAL9000, un par de detalles sobre pi.

- Aparece formando parte de la solución de numerosas series infinitas, muchas de ellas resueltas gracias al gran Euler:

(2/1)(2/3)(4/3)(4/5)(6/5)(6/7)(8/7)(8/9)(10/9)(10/11)... = pi/2

(1/1)-(1/3)+(1/5)-(1/7)+(1/9)-(1/11)... = pi/4

- Tiene un valor importantísimo en el conjunto de los número complejos apareciendo en identidades notables como por ejemplo la de Euler:

e^i(pi)+1=0

y en teoremas importantes para la integración compleja, como es el Th integral de Cauchy..

- A parte de la conocida aplicación para superficies y volúmenes, en el campo de la estadística aparece de manera continua y sorprendente, como es el caso de la "Aguja de Buffon".

Tiene una larga historia matemática detrás, pero esto es cosa de los más avezados en ello.

No dejen de darse una vuelta por la wikipedia para indagar más

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%CF%80

Y un applet sobre la Aguja de Buffon

www.mste.uiuc.edu/reese/buffon/bufjava.html

[tetemikele]

Chicos al leer vuestros mensajes repletos de
numeros y formulas han empezado a venirme
un monton de malos recuerdos.
EL PROFESOR DE MATEMATICAS Y SUS
EXAMENES TERRIBLEEEEESSSSSS....
Dios mio creia que el trauma se habia curado
y no era mas que un debil recuerdo de la
infancia. Pero me doy cuenta que no. Sigue
ahi, haciendome sufrir, torturando a ese
pobre niño inocente que queria entender y
aprender matematicas.
Saludos.

[Alex]

Es una pena que el vídeo este en inglés, pero de todas formas aunque el número PI es otro numero de los llamados "trascendentes" y digno de estudio algebraico, sus propiedades me parecen menos espectaculares que las dell número PHI. Y para muestra, un botón!. y para pesar de tatemikele

Seguramente conocéis, la también sorprendente, serie numérica de FIBONACCI. Es una serie cuyos números se construyen mediante la suma de los dos anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 .... donde vemos como el 2 es la suma de 1+1, el 3 la de 2+1.. el numero siguiente al 13 sería el 8+13=21 etc.

Si nos piden que encontremos una "terna pitagórica" cuyos números pertenezcan al conjunto de los números enteros ¿la encontraríamos? posiblemente si, (la mas fácil y conocida es 3, 4, 5 --> 3^2+4^2=5^2), pero si nos dicen que además la terna se componga de números de tres o más dígitos, la cosa se nos puede complicar muy mucho. Pero una sorprendente propiedad de la serie Fibonacci nos va a solucionar el problema muy fácilmente.

Solo tenemos que coger 4 números consecutivos de la serie, por ejemplo, el 5, 8, 13 y 21 (que ya hemos visto antes) y realizamos las siguientes operaciones:

1.- Multiplicamos los dos números de los extremos: 5x21= 105
2.- Cogemos el doble del producto de los interiores: (8x13)x2=208
3.- Sumamos el cuadrado de los dos interiores: 8^2+13^2= 233 y ya ¡tenemos la terna pitagórica!! Si comprobamos: 105^2+208^2=233^2

Fácil ¿verdad?.. Operando de la manera vista sobre cualesquiera 4 números consecutivos de la serie Fibonacci obtenemos una terna pitagórica.

El problema nos llega cuando nos dicen que construyamos una terna a partir de un cierto numero de la serie por ejemplo a partir del 30!!

Como no es cosa de ponerse a construir la serie hasta obtener los 4 números que ocupan los lugares 30, 31, 32 y 33, de la serie, pues acudimos a nuestro número mágico PHI y con su ayuda obtenemos esos numeros, asi:

[(PHI^30-PHI*^30)]/RAIZ(5)]= numero 30 de la serie. Donde PHI* = la solucion negativa de PHI = 1/PHI (recordemos que PHI=1,6180339887 y su inverso 1/PHI=PHI-1=0,6180339887)

Comprobamos: (podemos utilizar el número PHI con 10 decimales para aproximar a la milésima o más, ya que al ser un numero irracional el resultado no nos dará exactamente un numero entero, para obtener el numero exacto entero, debemos operar con con la formula originaria (1+raiz(5))/2

(1,6180339887^30-0,6180339887^30)/raiz(5)=832.040 (el resultado en una calculadora es 832039,999). Ahora podemos hacer lo mismo, elevando a 31ª potencia:

(1,6180339887^31-0,6180339887^31)/raiz(5)= 1.346.269 y para obtener el 32º y el 33º recurrimos a ir sumando..

832040+1346269= 2.178.309 que sera el numero 32º y el 33º sera la suma del 31º+32º --> 1346269+2178309= 3.524.578 y ya operando como habiamos dicho al comienzo obtendremos una terna pitagorica... que por cierto dará miedo conocerla!!

De todas formas no deseo dar la impresión de desmerecer al número PI, adhiriendome a inavarro_88, destacando para mi la intervención de PI en la "aguja del conde de Buffon:

Si ponemos un folio en el suelo, donde hemos dibujado lineas paralelas de igual separación entre ellas a la distancia de una aguja ¿que probabilidades hay de que al dejar caer la aguja en el folio, su posición coincida con que este cruzando a una cualquiera de las lineas paralelas?

Pues fijate que fácil !! 2/PI ¡¡ sencillamente sorprendente ¿no?

[inavarro88]

Más, más, queremos más.

[HAL9000]

Hacedme caso hombre... descargaros "PI, FE EN EL CAOS"... de Darren Aronofsky (un poco de P2P en aras de la ciencia no hará mal a nadie).

[tetemikele]

Voy a descargarme la pelicula
quiero ver si supero mi trauma.
Terapia de choque pura y dura.
Saludos.

[Alex]

¡Muy buena HALL9000! ¡te la debo! jaaaaaaajajajajaja. pero no estoy mas loco que algunos con los telescopios!! .... pero es que es asombro.

Mientras me muestres otro video, mira la serie de fibonacci, y comprueba una cosa:

Si divides el numero que ocupa el lugar 20 de la serie por el que ocupa el 19, obtienes.. lo adivinas? ¡eso es! el número PHI, 1,618033963.. pero si observas bien, veras que es una aproximación de tan solo 7 decimales... ¿lo quieres mas exacto? pues divide dos números consecutivos, cuanto mas altos mejor y observa. Podemos dividir los que calculamos en mi post anterior el 33 entre el 32 por ejemplo: 3.524.578 / 2.178.309 = 1,61803398875... y lo tienes aproximado al decimal 11 (y no he sacado mas decimales, porque mi calculadora no da para mas!) Creo que la manifiesta relaciion entre el numero PHI y la Serie Fibonacci es mas que patente.

kyba, no quiero dejar pasar tu alusión a la espiral logaritmica y a los halcones peregrinos!! porque es un magnifico ejemplo de la proporción Aurea o del número PHI. La espiral logaritmica, fue renombrada por Descartes como la Espiral Equiangular:

Si tomamos un triangulo isósceles "áureo", cuya relación lado/base sea igual a PHI=1,61803398875 y que para no calentarte la cabeza calculando sus dimensiones, puedes dibujar un pentágono y cualquier par de diagonales de un mismo vértice de dicho polígono con su lado opuesto forma un triangulo isósceles "áureo"... bueno pues las bisectrices de los angulos adyacentes a la base de ese triangulo forman otro triangulo semejante mas pequeño, cuyas bisectrices forman otro triangulo semejante mas pequeño.. etc... y uniendo a mano alzado con un arco los vertices de todos esos triangulos obtienes la espiral logaritmica! o la espiral equiangular, llamada asi, porque tiene la propiedad de que cualquier recta desde el polo a cualquier punto de la espiral, la corta formando ángulos iguales!
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Los Halcones Peregrinos cuando atacan a sus presas desde muy alto, se dirigen a ellas a velocidad del orden de los 300 km/h siguiendo exactamente esa espiral (bueno... mas o menos), hecho que ha traido de cabeza a muchos biologos, ya que se preguntan ¿porque no atacan en linea recta? esta claro que llegarían antes y ademas podrian ir mas rápidos!. La respuesta dada por un tal Tucker de la Universidad de Carolina del Norte es que como los ojos del halcon estan a cada lado de la cara, para aprovechar su visión deberia volar con la cabeza inclinada o girada unos 40º, y analizando en tuneles de viento este bamboleo de la cabeza del halcon comprobo que reduciria su velocidad considerablemente, y comprobó como los halcones volando por esa espiral equiangular imaginaria, vuelan con la cabeza recta, sin moverla en ningún momento, aprovechando al máximo su agudeza visual y controlando a su presa durante todo el vuelo!!.

Saludos!!