La mágia de los números

Guest

Mensajepor Guest » 02 May 2008, 16:34

Ya decía yo que no nos entendíamos, porque íbamos por caminos distintos.

Prescindiendo ya de grafismos que lían, lo que dices, es verdad. Cualquier valor non, que le des de sumando, desembocará al desarrollar al final este valor.
Esto es lo que has ido manteniendo en todas tus exposiciones y no podíamos estar de acuerdo, por cuanto el enunciado indicaba 3n´ + la unidad siempre.
Y en este caso, no le pones la unidad sino otro valor por lo que no llegarás con su desarrollo a la unidad, sino a este número que has elegido, que es el mismo factor al que expones .

Y que para acabar con la unidad, los últimos pasos los ejecutabas con el 3n´+ 1. Y esto es lo que te indiqué de principio, que era saltarse las reglas.

De todos modos tanto si lo contemplamos como dices con el 4 o con el 3 o con la fórmula de m3ntol, desgraciadamente no es la demostración pedida, solo una constatación del cumplimiento de Collatz.

Saludos del Abuelo. :D

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Mensajepor franc » 02 May 2008, 17:39

Carlos dijo:

Y en este caso, no le pones la unidad sino otro valor por lo que no llegarás con su desarrollo a la unidad, sino a este número que has elegido, que es el mismo factor al que expones n´.


¡Por eso carlos! El resultado final es proporcional al número al que se expone n´. Si n´= 1 y le añades 1:

3x1+1 = 4

4 /2 = 2

2 /2 = 1

Si n´= 3 y le añades 3:

3x3 +3 = 12

12 /2 =6

6 /2 = 3


Pero aún voy más lejos porque creo que de explicarlo tanto he cometido un error, que lo subsano inmediatamente. He dicho en algún momento que el número que tomo para un subconjunto de 4n´es el mismo, y eso es un error, por eso estaba a punto de abandonar porque no me cuadraba, ya que no cumplía lo que yo exponía, que era que su resultado final era 1 o un número impar. El número escogido no tiene porque ser igual al añadido, de hecho en 3n´+1 así sucede, es decir le podemos dar un valor a n´ distinto del que tiene su añadido. Por ejemplo, puedo coger para el subconjunto de 4n´ el 7 para n´ y añadirle 3:

4n´lo formarían: 3x7 +3

3x7+3 = 24

24 /2 = 12

12 /2 = 6

6 /2 = 3, aquí el resultado final es 3, pero fíjate, ahora cogeré para n´el 9 y le añado 5:


4n´lo forman: 3x9 +5


3x9+5 =32

32 /2 = 16

16 /2 = 8

8 /2 = 4

4 /2 = 2

2 /2 = 1 esto confirma lo que he venido diciendo a lo largo de muchos post, y es que si el añadido es superior a la unidad, el resultado final puede ser 1 o un número impar superior, como demuestro en los ejemplos anteriores.

No hay ninguna regla del juego rota, y vale lo anteriormente dicho, salvo lo que ahora mismo voy a editar, en una de las preguntas de m3ntol.

Carlos dijo:

Y que para acabar con la unidad, los últimos pasos los ejecutabas con el 3n´+ 1. Y esto es lo que te indiqué de principio, que era saltarse las reglas.

Carlos, no hay reglas rotas, ninguna. Lo que acabas de exponer lo demuestro en el ejemplo anterior, verás que siendo el añadido distinto a la unidad, también da la unidad. El ejemplo es es subconjunto de 4n´ formado por n´= 9 y número impar añadido= 5, verás que da 1, confirmando lo que he venido diciendo hasta ahora, que si el añadido es superior a la unidad, el resultado final puede ser 1 o un número distinto a la unidad.


saludos
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Mensajepor franc » 02 May 2008, 21:18

Último intento de clarificar lo que expongo:


Sin Palabras



[4n´={(4n´ {(3n´+1))}]



4n´= (3n´+1 )tomamos para n´ el 5:

3x5+1 = 16 sabemos que da 1.


4n´= (3n´+5) tomamos para n´el 5, pero el añadido es superior a la unidad:

3x5+5 = 20 sabemos que da 5

Los dos resultados guardan proporción, respecto al número añadido.

Ahora comprobaremos ,que mi observación de que un número añadido superior a la unidad, su resultado final, es la unidad o un número superior a ésta, es cierta:

4n´= (3n´+1) tomamos para n´el 9:

3x9+1 = 28 sabemos que da 1.

4n´=(3n´ +5) tomamos para n´el 9, pero el añadido es superior a la unidad:

3x9+5 = 32 sabemos que da 1. Vemos que en ambos casos el resultado final es 1, sin embargo los añadidos son distintos, y en los dos ejemplos anteriores a estos últimos, los añadidos también son distintos, y proporcionales al añadido. Esto confirma lo que digo, que si el añadido es superior a la unidad, el resultado final será la unidad o un número superior a ella proporcional a los añadidos, como muy bien se observa en los ejemplos, y lo que vengo diciendo reiteradamente es, que el suceso variable (1 ó un número impar superior a la unidad) en el resultado de las operaciones, a las que añadimos un número impar superior a la unidad, es determinante para asegurar que el resultado final de las operaciones a las que añadimos 1 (3n´+1) será siempre 1, porque aquellas operaciones a las que añadimos un impar superior a 1, no cumplen collatz siempre, es decir o lo cumplen o no lo cumplen, y cuando no lo cumplen, el resultado final es proporcional al número añadido, pongo otro ejemplo:


Vamos a coger para 4n´ como n´el 9:

4n´= (3n´+1) tomamos el 9 para n´ y añadimos 1.

3x9+1 = 28 sabemos que da 1

4n´= (3n´+5) tomamos el 9 para n´y añadimos 5.

3x9+5 = 32

32 /2 = 16 sabemos que da 1,

ya tenemos uno de los supuestos, que decía que si el añadido es superior a la unidad también puede ser el resultado final la unidad.

Ahora vamos con el otro supuesto, el que digo que el resultado final puede ser distinto pero proporcional a la unidad añadida en la primera operación:

Decíamos que:

4n´= (3n´+1) tomamos el 9 para n´ y añadimos 1.

3x9+1 = 28 sabemos que da 1.

Ahora:

4n´= (3n´+1) tomamos el 9 para n´ y añadimos 11.

3x9+11 = 38

38 /2 = 19

19x3+11 = 68
....................
....................
31x3+11 = 104

104 /2 = 52

52 /2 = 26

26 /2 = 13, vemos que el resultado final es 13.

El resultado final en la primera operación es 1 y en esta última es 13, y los números añadidos son en el primer caso 1 y en el segundo 11. ¡Atención! ¿qué sucede? La diferencia en los resultados finales es 12, y la diferencia entre los números añadidos es 10,.

¡Atención a esto que es la clave! ¿Realmente el final de la operación es 1?. ¡Señores, el final proporcional de la operación no está en 1 con respecto a 13, sino en el número par que cae directamente a 1 en una operación y a 13 en la otra:

Para acortar el camino vamos a tomar el impar 9 sin multiplicarlo por 3:

tenemos 9 +1 =10

10 /2 = 5

5x3+1 = 16, 16 es el par que cae directamente hacia el 1.

Y ahora tenemos 9 + 11 = 20

20 /2 = 10

10 /2 = 5

5x3+11 = 26, 26 es el par que cae directamente al impar 13 , que al igual que en el impar 1, se repite el ciclo. Y ahí está la proporción :

Vemos que en un caso añadimos 1 y en el otro 11, una diferencia de 10, la misma que hay entre los pares (16 y 26) que en ambas operaciones caen directamente hacia el número cuyo ciclo se va a repetir de manera continua .

En definitiva, lo que he venido diciendo hasta ahora, que si el número añadido es superior a la unidad, los resultados finales serán o la unidad o proporcionales a los números añadidos, por lo que al no cumplirse siempre collatz para las operaciones cuyos impares añadidos son superiores a la unidad, es evidente entonces, que collatz siempre se cumple en aquellas que es la unidad la que se añade. ¡Pura lógica!

Porque incluso en las que collatz no cumple, sí lo hacen proporcionalmente al número añadido los resultados finales, respecto a aquellas que sí cumplen collatz.

Espero que leáis detenidamente los dos últimos post, porque ahí está la clave de todo. Ya no lo puedo explicar mejor porque sencillamente creo que ya no hay explicación mejor posible.


saludos
Última edición por franc el 03 May 2008, 00:45, editado 1 vez en total.
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Mensajepor Alex » 03 May 2008, 00:37

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Entonces, no se que idea teneis para poder probar que numeros de la forma 4m+3 o superiores cumplen o no la sucesión Collatz, porque yo ahi estoy muy despistado, no se si a partir del razonmamiento donde me he quedado (que repito, yo pienso que es válido, pero no se que opinaria un matematico) podrian abrirse dos posibilidades: par o impar y seguir cada camino, pero me da la impresión que las bifurcaciones serían infinitas... lo intentaré pero no tengo ninguna esperanza, ademas de no estar seguro si esto seria suficente...

Bueno saludos que ya me duele la cabeza!!...
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Mensajepor Alex » 03 May 2008, 00:48

Definitivamente no sale para numeros de forma 4m+3, la serie Collatz o se hace creciente indefinida o me salen hasta decimales!! :). Habria que buscar otra forma...
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Mensajepor franc » 03 May 2008, 01:39

Alex, os agradecería que leyerais y si hace falta releyerais mis dos últimos post.

Tu último post me viene como anillo al dedo para demostrar lo que he venido diciendo:

Tomo como ejemplo el número 255, y también tu afirmación de que no sabes como demostrarlo para 4m+3, eso sí lo haremos de la manera tradicional o troglodita:


255x3 +1 = 766

766 /2 = 383

383x3+1 = 1150 asi sucesivamente ya sabemos que da 1

Ahora vamos con el +3:

255x3 +3 = 768

768 /2 = 384

384 /2 = 192

192 /2 = 96

96 /2 = 48

48 /2 = 24

24 /2 = 12

12 /2 = 6

6 /2 = 3, sabemos que 3 es el final porque a partir de aquí se repite el ciclo.

¿Se ve claro o no, que los resultados finales en ambas operaciones son proporcionales a los números añadidos?

Las dos operaciones de mi último post son esclarecedoras, porque parece que no haya igualdad proporcional en los resultados finales, pero si la hay, ya que la igualdad proporcional, cuando no se da en los resultados finales, si se da en los números pares a partir de los cuales se cae directamente a la unidad en una operación, y a un número impar superior a la unidad en la otra.



saludos
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Mensajepor Alex » 03 May 2008, 20:51

Franc:
Alex, os agradecería que leyerais y si hace falta releyerais mis dos últimos post.

Tu último post me viene como anillo al dedo para demostrar lo que he venido diciendo:

Tomo como ejemplo el número 255, y también tu afirmación de que no sabes como demostrarlo para 4m+3, eso sí lo haremos de la manera tradicional o troglodita: ...


Antes de nada perdonad que desde aqui haga algunas advertencias sobre mi último post.

La demostración de que los numeros de la forma 4n+1 cumplen con la sucesion de Collatz, la considero correcta, si no se tiene encuenta el error en el termino general, donde omití la división por 3. Por tal motivo el numero del ejemplo 255 no es de la forma 4n+1, pero ya sabemos que tambien cuample con la conjetura, aunque de momento no se pueda demostrar (según lo veo yo). Pero si cogeis cualquier numero que pueda expresarse como 4n+1, vemos que si que se llega a un numero 3n+1 que es menor que 4n+1. Este numero que alcanzamos, puede ser par o impar, pero en cualquiera de los dos casos se llega a un IMPAR MENOR que el impar con que hemos iniciado,(si es par, desembocara en un impar ´todavía MENOR) e iterando nuevamente desde el impar que obtenemos, obtendremos otro impar MENOR...etc. y se demuestra que se llega al UNO.

Ahora franc, comentemos tus ideas, que para ser franco, me han servido mucho para llegar hasta donde buenamente he podido llegar, pero que ahora no se seguir. Nos vamos a olvidar de los numeros de forma 4n+1, puesto que los consideramos probados. El problema viene con los numeros 4n+3. o mayores

Franc, lo que tu llamas 4n' es el producto de 4*n' (donde n' es un numero impar, de la sucesión natural, o sea 1,3,5,7,...), y lo quieres asimilar a 3n'+1, porque en ambos casos te da un numero par, al realizar en un caso el producto por 4 y en el otro por tres y añadirle 1. Pero no tiene nada que ver 4n' con 3n'+1. Si tu formas un conjunto con 4n' y otro con 3n'+1 (suponiendo n' la sucesion natural de los impares) veras que no tienen elementos comunes, mas que el 4, aunque los resultados sean todos numeros pares, pero no se repite ninguno:

n'= 1,3,5,7,9,11,13,15,...
4n'=4,12,20,28,36,44,52,60... = 8(n-1)+4=8n-4, (n>0);
3n'+1=4,10,16,22,28,34,40,46... =6(n-1)+4=6n-2 (n>0)
DIFERENCIA TERMINO A TERMINO: 0,2,4,6,8,10,12,14,...=sucesion natural de los pares = 2n. Estas sucesiones son PARES, y ya se dieron por probadas que cumplen con la sucesion de la conjetura 3n+1 y lo probamos por ejemplo para los numeros 8n-4 que dan:

8n-4-->4n-2-->2n-1. Es decir, vemos que partiendo de cualquier numero de esta sucesión llegamos a un numero de la forma 2n-1 que es impar. Pero a partir de aqui, como 2n-1 es la sucesion de TODOS LOS IMPARES, veamos que ocurre al aplicar la norma Collatz:

impar 2n-1-->par 6n-2-->¿impar/par? 3n-1. Aqui es donde nos atrancamos, porque puedes probar con uno, con dos ... con 1000 numeros si quieres y te da la conjetura, pero no estas seguro, de que la cumplan TODOS los numeros de la forma 3n-1. Hasta aqui, lo mas importante, es que estas seguro de que llegas a un numero 3n-1 PERO DA LA CASUALIDAD DE QUE 3n-1>2n-1 que es el impar por el que has comenzado, por lo que no puedes ni siquiera probar, que la sucesion es convergente.

Si n', lo consideras un impar cualquiera, entonces menos aún, ya que 4x7=28 y 3x7+1=22, en lo unico que se parecen es que ambos resultados es un numero par, y no vale esto: 7+7+7+7=28 y ahora suponer que el último 7 es un 1, o sea 7+7+7+1=22 y decir que 22-28=7-1, AUNQUE, HAYA UNA RELACION DE EQUIVALENCIA, en el número 6.

Con los pares de forma 2n, vemos que 2n-->n y aqui n tambien puede ser par o impar pero si es par estaremos seguros de que se llega a un par menor que el que hemos comenzado n<2n, por lo que la iteracion de pares, llegará al 1, y si es impar es donde tenemos el follón montado porque si iteras cualquier n, nos lleva n-->3n+1 que es el MEOLLO DE LA CUESTION... y aunque intentemos ver un poco mas diciendo que, en este caso, el n de la formula 3n+1 tiene que se impar (2n-1), podemos intentar: n-->3n+1 y (sustituir el n por el impar 2n-1)-->3(2n-1)+1=6n-2-->3n-1, y llegas tambien a un 3n-1>n no puediendo llegar a conclusión alguna....

En definitiva, que solo podemos probar la conjetura para los numeros pares y los de la forma 4n+1 casi exclusivamente.

Calro esta, esto es suponiendo que he interpretado bien lo que tu me quieres decir con el 4n' y el 3n'+1 (pero te repito que uno no es subconjunto del otro, solo tienen en comun el elemento 4 cuando n'=1, o sea que como mucho sera una interseccion de conjuntos, pero no un subconjunto)

Entonces, por este metodo no se puede seguir, o no conocemos la forma, deberiamos coger otro camino, pero la verdad es que yo no tengo ni idea

Saludos
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Mensajepor m3ntol » 03 May 2008, 21:46

Alex escribió:La demostración de que los numeros de la forma 4n+1 cumplen con la sucesion de Collatz, la considero correcta, si no se tiene encuenta el error en el termino general, donde omití la división por 3. Por tal motivo el numero del ejemplo 255 no es de la forma 4n+1, pero ya sabemos que tambien cuample con la conjetura, aunque de momento no se pueda demostrar (según lo veo yo). Pero si cogeis cualquier numero que pueda expresarse como 4n+1, vemos que si que se llega a un numero 3n+1 que es menor que 4n+1. Este numero que alcanzamos, puede ser par o impar, pero en cualquiera de los dos casos se llega a un IMPAR MENOR que el impar con que hemos iniciado,(si es par, desembocara en un impar ´todavía MENOR) e iterando nuevamente desde el impar que obtenemos, obtendremos otro impar MENOR...etc. y se demuestra que se llega al UNO.



Pues yo no veo eso claro. En efecto, cualquier número de la forma 4n+1 es impar y al iterarlo por Collatz tenemos:
3(4n+1)+1 = 12n+4 = 4(3n+1) que desemboca al dividir dos veces por 2 en (3n+1)

¿Y ahora qué? Ya no sabemos nada de 3n+1, en efecto puede ser par o impar. Si es par lo divides entre 2 y obtienes un número del que, de nuevo no sabes nada, puede ser par o impar. Y si 3n+1 es impar obtendrás otro número 9n+4 del que tampoco sabes nada.

¿En qué te basas para decir que los números de la forma 4n+1 acaban en 1? me he perdido esa demostración.

Lo único que he visto es que en un momento dado habés hablado de la sucesión 4n+1 definiéndola como:

J(0)=0
J(n)=4(Jn-1)+1

Y en su forma exponencial se escribe como:
Imagen
Los números de esta forma, evidentemente desembocan en 1 porque son impares que al aplicarles 3n+1 dan una potencia de 2.

Además, recuerdo que pedí que se usara una notación adecuada para no dar lugar a equivocaciones. porque, insisto esa sucesión no tiene NADA que ver con los números de la forma 4n+1 como puedan ser, por ejemplo, el 13, 17...

Por favor, decidme si me he perdido esa demostración o estoy en lo cierto y estais confundiendo las sucesiones.

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Mensajepor franc » 04 May 2008, 01:16

Alex, quisiera aclarar esto:


Si n', lo consideras un impar cualquiera, entonces menos aún, ya que 4x7=28 y 3x7+1=22, en lo unico que se parecen es que ambos resultados es un numero par, y no vale esto: 7+7+7+7=28 y ahora suponer que el último 7 es un 1, o sea 7+7+7+1=22 y decir que 22-28=7-1, AUNQUE, HAYA UNA RELACION DE EQUIVALENCIA, en el número 6.


Franc contesta:


Voy a intentar explicarme, en primer lugar no estoy de acuerdo en que 3n´+1 no sea un subconjunto de 4n´, 3n´+1 es un subconjunto de 4n´porque está formado por 4 números impares, 3n´+2, no lo es, 4n´+1 tampoco lo es, 2n´+2, tampoco lo es y 3n´tampoco lo es, pero 3n´+1 lo es, 3n´+3 lo es, 3n´+5 lo es, 3n´+7 lo es etc, etc. 3n´+1 es un subconjunto de 4n´, porque en 3n´+1 hay cuatro números impares, si tomamos para n´=3, tenemos 3x3 y si en lugar de añadir 1 le añadimos 3, tenemos que 4n´= 3x4, que es lo mismo que 3x3+3, si 3n´+3 es un subconjunto de 4n´, entonces 3n´+1 también es un subconjunto de 4n´.


Cuando yo aplico collatz a uno de los subconjuntos citados, no lo aplico como 4n´, sino como a un subconjunto de éste último:

Si para el subconjunto 3n´+1, n´= 3, 3x3 +1

Si para el subconjunto 3n´+3, n´= 3, 3x3+3

Si para el subconjunto 3n´+5, n´= 7, 3x7+5

Si para el subconjunto 3n´+11, n´= 9, 3x9+11



A todos se les puede aplicar collatz, y a los que se añade un impar superior a la unidad darán un resultado igual a la unidad o un número impar superior a ella, y cuando es la unidad la que se añade el resultado es 1.


Quisiera hacer algunas observaciones, puntualizando algunos datos en lo por mí expuesto.


1º Que las reglas del juego no se vulneran en ningún momento, como he demostrado.


2º Aclarar, que la afirmación de que en algunas operaciones, los resultados finales, (cuando el número añadido es superior a la unidad) guardan proporcionalidad con los números añadidos, es evidente, pero esa evidencia en ocasiones no es demostrable de manera directa , en muchas ocasiones está en los entresijos en el desarrollo de collatz.

3º Aclarar también , que lo dicho en el punto segundo, (incluso aunque hubiera resultados finales que verdaderamente no guardaran proporción) no invalida la afirmación de que si el número añadido es superior a la unidad, su resultado final será la unidad o un número superior a ella (como he demostrado) y esos resultados, nos están diciendo que si el número añadido es la unidad, su resultado final será siempre 1, ya que a éste resultado final no le damos más opción que el que se añade, cosa que no sucede en el supuesto anterior, donde el añadido es superior a la unidad, y debido a ello, posibilidades distintas en los resultados finales.


Saludos.
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Mensajepor m3ntol » 04 May 2008, 08:42

Franc, veo que seguís ignorando mi pregunta de porque para 4n+1 está demostrado Collatz... en fin. Intentaré comprender tu notación a pesar de ser tremendamente confusa.

franc escribió:si 3n´+3 es un subconjunto de 4n´, entonces 3n´+1 también es un subconjunto de 4n´.


Por favor responde con claridad, simplemente elige una opción.

¿Qué es exactamente 4n'?
a) 4 multiplicado por cualquier número
b) 4 multiplicado por cualquier número impar
c) Conjunto de 4 números impares cualquiera
d) Otros (explicalo con claridad)

¿Qué es exactamente 3n'+1?
a) 3 multiplicado por cualquier número más 1
b) 3 multiplicado por cualquier número impar + más 1
c) Conjunto de 3 números impares cualquiera al que se añade el 1 como elemento.
d) Otros (explicalo con claridad)


franc escribió:Cuando yo aplico collatz a uno de los subconjuntos citados, no lo aplico como 4n´, sino como a un subconjunto de éste último:
Si para el subconjunto 3n´+1, n´= 3, 3x3 +1
Si para el subconjunto 3n´+3, n´= 3, 3x3+3
Si para el subconjunto 3n´+5, n´= 7, 3x7+5
Si para el subconjunto 3n´+11, n´= 9, 3x9+11
A todos se les puede aplicar collatz, y a los que se añade un impar superior a la unidad darán un resultado igual a la unidad o un número impar superior a ella, y cuando es la unidad la que se añade el resultado es 1.



Según entiendo esto dices que todos los números de la forma 3n'+1 (siendo n' impar) acaban en 1 al aplicarles la sucesión de Collatz. Por favor, demuéstralo, con decirlo no vale y esa proposición que has hecho es tremendamente fuerte. ¿Con qué la apoyas?

Por ejemplo, demuéstramelo para el 270848730347249860294576463848775694020824603452795635958961
o para (3* (2^9845639)-1)+1 o mejor aun, para cualquier natural.

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