Entonces dio otra paradoja similar a la del círculo esta vez con números ni infinitos ni indivisibles que podían ser insertados en el lugar correcto. Proporcionó la correspondencia uno a uno estándar entre los enteros positivos y sus cuadrados. Por una parte demostró que había el mismo número de cuadrados que de números. Sin embargo la mayoría de los números no eran cuadrados perfectos, Galileo dijo que esto solo podía significar que:-
'... el total de los números es infinito, y el número de cuadrados es infinito.; ni es menor el número de cuadrados que el de la totalidad de números, ni el otro mayor que el anterior; y, finalmente, los atributos 'igual', 'mayor', y 'menor' no son aplicables al infinito, sino solo a cantidades finitas'.
Fermat identificó una importante propiedad de los enteros positivos, a saber, no contienen una secuencia descendente infinita. Hizo este descubrimiento introduciendo el método de descenso infinito en 1659:-
... en los casos donde los métodos ordinarios dados en los libros se muestran insuficientes para manejar proposiciones de tal dificultad, he encontrado al fin una forma completamente excepcional de trabajar con ellos. He llamado a este método de comprobación de infinito descenso ...
Por supuesto, el infinito no se había eludido dado que aún tenía que tener en cuenta incrementos infinitamente pequeños. Esto era, en cierto sentido, la respuesta de Newton al problema de la flecha de Zenón:-
Si, dice Zenón, todo está en reposo o en movimiento cuando ocupa un espacio igual a sí mismo, mientras el objeto movido está en ese instante, la flecha en movimiento permanece quieta.
La fluxión de Newton produjo resultados matemáticos fantásticos pero había mucha cautela en el uso de incrementos infinitamente pequeños. La famosa cita de George Berkeley resume las objeciones de una forma sucinta:-
¿Y qué son estas fluxiones? Las velocidades de incrementos evanescentes. ¿Y qué son los mismo incrementos evanescentes? No son más que cantidades finitas, no cantidades infinitamente pequeñas, ni nada de eso. ¿No podríamos llamarlos fantasmas o cantidades 'huidas'?
Newton creía que el espacio es de hecho infinito y no indefinidamente grande. Proclamó que tal infinidad podía ser comprendida, usando en particular argumentos geométricos, pero no pudo concebirlo. Esto es interesante para, como veremos más abajo, otros argumentos contra el infinito real usando el hecho de que no puede ser concebido.
El filósofo David Hume argumentó que había un mínimo tamaño perceptible en su Tratado de la Naturaleza Humana (1739):-
Pon una mancha de tinta en el papel, fija tu mirada en el punto, y retíralo a tal distancia que finalmente lo pierdas de vista; es evidente que el momento en que la imagen o impresión desapareció es perfectamente indivisible.
Immanuel Kant argumentó en La Crítica a la Razón Pura (1781) que el infinito real no puede existir dado que no puede percibirse:-
... para concebir el mundo, que llena todo el espacio, como un todo, la sucesiva síntesis de las partes de un mundo infinito tendrían que plantearse como completas; es decir, un tiempo infinito tendría que considerarse como transcurrido, durante la enumeración de todas las cosas que coexisten.
Esto trae la cuestión a menudo preguntada por los filósofos: ¿existiría el mundo si no hubiese una inteligencia capaz de pensar en su existencia? Kant dice no; por lo que volvemos al punto del principio de este artículo, el conjunto de los enteros no es infinito dado que nunca podremos enumerar más de un número finito de números.
Gauss, en una carta a Schumacher en 1831, argumentaba contra el infinito real:-
Protesto contra el uso de magnitudes infinitas como algo completo, lo que en matemáticas nunca se permite. El infinito es simplemente una forma de hablar, el significado real es un límite con ciertos rangos de aproximación indefinidamente cercanos, mientras que otros se les permite incrementarse sin restricción.
Tal vez uno de los sucesos más significativos en el desarrollo del concepto de infinito son las Paradojas de Bernard Bolzano sobre el infinito las cuales publicó en 1840. Argumenta que el infinito existe y en su argumento involucra la idea de un conjunto que define por primera vez:-
Llamo conjunto a un grupo donde el orden de sus partes es irrelevante y donde nada esencial se cambia si solo se cambia el orden.
¿Por qué la definición de un conjunto hace del infinito real una realidad? La respuesta es simple. Una vez que uno piensa en los enteros como conjunto entonces esto es una entidad simple que debe ser infinita en realidad. Aristóteles miraría los enteros desde el punto de vista que uno puede encontrar subconjuntos finitos arbitrariamente grandes. Pero una vez que se tiene el concepto de conjunto entonces estos se ven como subconjuntos del conjunto de los enteros el cual debe ser infinito en realidad. Quizás sorprendentemente Bolzano no usó este ejemplo de conjunto infinito sino que en lugar de esto mira las proposiciones ciertas:-
La clase de todas las proposiciones ciertas se ve fácilmente como infinito. Si fijamos nuestra atención sobre una verdad tomada de forma aleatoria y la etiquetamos como A, encontramos que la proposición transmite las palabras 'A es cierta' que es distinto de la proposición A en sí misma...
En esta etapa, el estudio matemático del infinito se mueve hacia la Teoría de Conjuntos y referimos al lector al artículo Inicios de la Teoría de Conjuntos para mayor información sobre la contribución de Bolzano y el tratamiento del infinito de Cantor quien construyó una teoría de diferentes tamaños de infinitos con sus definiciones de números cardinales y ordinales.
http://ciencia.astroseti.org/matematica ... finito.htm
Después de lo leído me atrevo a decir que 1/n, siendo n el conjunto de todos los números, es igual a
, con lo cual (n) = 1, ó 1/n (n)= 1, con lo que siendo n 
, 1/n = , (n) = 1, 1= . Si lo aplicamos a collataz: 3n+1=
, como igual a 1, entonces collatz es cierto, porque
/2 = , = 1. 
saludos
Ahora me has convencido!!! jajaja.
