Aritmetica maravillosa

[Alex]

Cada vez que releo un antiquisimo libro de Aritmetica, no dejo de sorprenderme y aunque recuerdo que ya existió un hilo sobre la belleza de las Matemáticas, no quiero dejar pasar este malabarismo de números (perdonad si ya fue mencionado):

Pongamos todos los numeros del 1 al 9 en su orden natural, quitamos el 8 y comencemos multiplicandolo por 9, despues por numeros de dos cifras, que vamos obteniendo siguiendo un cierto orden: el numero de dos cifras lo formamos tomando el 1 y el 8, despues el 2 y el 7, el 3 y el 6, el 4 y el 5, el 5 y el 4, el 6 y el 3, el 7 y el 2, el 8 y el 1. Vamos sumando uno hacia la derecha y restando uno hacia la izquierda.

[tex]12345679\; \times\;\; 9\;= 111111111
12345679\; \times\; 18\;= 222222222
12345679\; \times\; 27\;= 333333333
12345679\; \times\; 36\;= 444444444
12345679\; \times\; 45\;= 555555555
12345679\; \times\; 54\;= 666666666
12345679\; \times\; 63\;= 777777777
12345679\; \times\; 72\;= 888888888
12345679\; \times\; 81\;= 999999999[/tex]

Sorpendente ¿no?... bueno pues como en los fuegos artificiales, la traca final!! :

Elevemos al cuadrado el resultado primero (111111111),... ya sabemos que dara un numero original pero ¿cual?. Para que los mas perezosos no se queden sin admirarse, aqui va

[tex]\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;111111111\; \times\;111111111\;=\;\fbox{12345678987654321}[/tex]

Saludos

[Avicarlos]

Sí señor. Maravillado de la espectacular coincidencia.
Primero creí que te ibas por las ramas cuando indicas de poner el 1 con ocho, el 2 con siete.... Si en definitiva sigues la tabla de multiplicar del 9.
Pero vaya si sale curioso y no hablemos de la traca final......

¿Qué ocurre al comerse el ocho? ¿Quién halló tal curiosidad?.

Saludos de Avicarlos.

[nandorroloco]

El tema tiene que ver con los criterios de divisibilidad... cualquier potencia de 10, al hacer su módulo 9, es 1...
¿qué tiene que ver esto?
...
pues muy sencillo, cuando sumas las cifras de un número, lo único que estás calculando es su módulo 9... recordad la prueba del 9... que hacíamos cuando eramos críos...
Vale... y esto ¿a donde nos lleva?

A que si generamos un número con 9 cifras exactamente iguales... tendremos un múltiplo de 9.
pues empecemos por la más sencilla...

111111111 es múltiplo de nueve...

lo dividimos por nueve y sale el curioso número 12345679...

A partir de ahí es fácil observar que el 222222222, 3333333333, son múltiplos de 1111111111.... y si dividimos por el 9 multiplicado por el factor 2, 3 etc... obtendremos siempre el mismo número 12345679...
Simple y bello a la vez.

Lo del cuadrado también me parece... normal... me sugieren los número combinatorios...

Saludos.

[Alex]

Efectivamente, Nandorroloco da en la diana. Muchas veces pienso que cuando eramos chavales estudiabamos como los loros, no profundizamos, ni nos paramos a pensar en los números, es como toda esa gran cantidad de gente que vive en ciudades grandiosas y saben que existe el cielo, pero nunca lo miran mas que para saber si va o no va llover! pero jamas lo miran por las noches.

La tabla anterior, proviene en realidad de la primera "Pirámide numérica" que se conoce (no se desde cuando, pero supongo que tendrá unos cuantos cientos de años). Es esta:

[tex]\;\;\;\;\;\;\;\;1\;\time\;9\;+\;2\;=\;11
\;\;\;\;\;\;\;12\;\time\;9\;+\;3\;=\;111
\;\;\;\;\;\;123\;\time\;9\;+\;4\;=\;1111
\;\;\;\;\;1234\;\time\;9\;+\;5\;=\;11111
\;\;\;\;12345\;\time\;9\;+\;6\;=\;111111
\;\;\;123456\;\time\;9\;+\;7\;=\;1111111
\;\;1234567\;\time\;9\;+\;8\;=\;11111111
\;12345678\;\time\;9\;+\;9\;=\;111111111[/tex]

Si nos fijamos, cualquier multiplicación por 9 es lo mismo que multiplicar por (10-1)

[tex]1234 \time 9+a = 1234.(10-1)+a = 12340-1234+a=11106+a[/tex] Ahora solo tenemos contar los digitos del numero que multiplicamos por 9 y añadirle uno, en el ejemplo a=4+1=5 y asi vamos obteniendo como resultado cantidades formadas por UNOS. Esto es lo mismo que decir: Para que el numero 123456 sea igual a 111111, solo tengo que restarle el mismo numero suprimiendo la ultima cifra: 123456-12345=111111.

Avicarlos, tu mismo dijiste

.... Si en definitiva sigues la tabla de multiplicar del 9.

Te diste cuenta de la curiosa sucesion que sigue la tabla de multiplicar del 9!! Solo tienes que ir restando una unidad y añadir una decena, 09-18-27-36... o sea multiplicar por (10-1). (Este razonamiento es válido para cualquier número)

¿Qué ocurre al comerse el ocho?

Es que el OCHO tiene una particularidad unica, le da la vuelta a todo, si no fijate en esta otra piramide:

[tex]\;\;\;\;\;\;\;\;1\;\time\;8\;+\;1\;=\;9
\;\;\;\;\;\;\;12\;\time\;8\;+\;2\;=\;98
\;\;\;\;\;\;123\;\time\;8\;+\;3\;=\;987
\;\;\;\;\;1234\;\time\;8\;+\;4\;=\;9876
\;\;\;\;12345\;\time\;8\;+\;5\;=\;98765
\;\;\;123456\;\time\;8\;+\;6\;=\;987654
\;\;1234567\;\time\;8\;+\;7\;=\;9876543
\;12345678\;\time\;8\;+\;8\;=\;98765432
\fbox{123456789\;\time\;8\;+\;9\;=\;987654321}[/tex]

Que lo pases bien con los números!!

Saludos