Matematicas y sorpresas

[nodriza]

[EMM]

Hola:

¿Ves?, Ahora si que estoy de acuerdo contigo.

Desde luego si que es un desliz decir lo de "valores indefinidos", precisamente son indefinidos porque no se les puede asignar un valor y en realidad pueden tomar cualquiera.

Un Saludo
Eduardo

[chachini]

Propongo otro de geometría.

Tenemos una plaza de toros de radio R que está bastante dejada y donde ha crecido bastante hierba. Atamos una cabra con una cuerda de longitud R en cualquier punto de su perímetro. ¿Que porcentaje de hierba respecto el total de la plaza será capaz de comerse?

Un saludo

[EMM]

Hola:

A mi me sale el 39.1 %

Hay dos métodos para resolverlo

Un Saludo
Eduardo

[Alex]

Pues creo que coincidimos EMM. Por ampliar un poco pongo uno de los caminos que dice EMM hay: Calculo del area entre curvas.

El área de la superficie que se puede comer la cabra vendrá dado por la integral definida entre los puntos de intersección de las dos circunferencias de igual radio, centradas (por conveniencia) en (0,0) el poste de amarre de la cabra y en (0,10) la plaza de toros, por lo que R=10 (supuesto para grafiar). Las ecuaciones serían:


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[tex]x^2+y^2=10^2[/tex]
[tex]x^2+(y-10)^2=10^2[/tex]

Resolviendo el sistema obtenemos:

[tex]x= 5\cdot \sqrt{3},\;y = 5,\; x = -5\cdot \sqrt{3},\;y = 5[/tex]

De los que solo nos interesa la coordenada "x" de la interseccion, es decir [tex]x= 5\cdot \sqrt{3},\;; x = -5\cdot \sqrt{3}[/tex]

El área “comestible” vendrá dada por la integral definida en el intervalo [tex](-5\cdot \sqrt{3},\;5\sqrt{3})[/tex], de [tex]g(x)=\sqrt{100 - x2} - (10 -\sqrt{100 - x2}[/tex]

Esto nos da un area de 122.8369698, que comparada con la superficie total de la plaza de toros nos da un ratio de 0.3910022187 ó 39,1%

Saludos

[Alex]

Imaginemos que tenemos una barra de plata que podemos cortar en trozos de distinto tamaño a nuestro antojo, siendo susceptibles de ser aceptados en general como garantía de cualquier contrato mercantil.

Queremos alquilar un barco durante todas nuestras vacaciones, que son de 63 días! (como la de los profesores de primaria). El propietario del barco nos pide una garantía para poder cobrar el importe total al final del contrato, en vez de por adelantado, y acordamos que cada día cortaremos y le entregaremos un trozo de la barra equivalente al precio del alquiler estipulado.

Al finalizar el contrato le entregaremos el total del alquiler en efectivo a cambio de que nos entregue los trozos de la barra de plata que le hemos ido dejando cada día en garantía del pago. Así que convenimos la medida del trozo que tenemos que entregar cada día como garantía (trozo “unidad”)

Para ahorrarnos el laborioso tiempo y trabajo que nos lleva el corte, en vez de hacer 63 trozos iguales (unidades), decidimos cortar la barra en trozos de distinto tamaño, de modo que nos permita pagar y cambiar.

Por ejemplo puedo hacer un trozo de 3 unidades, que daría el tercer día de alquiler y recibiría a cambio dos trozos unitarios que le dimos el primer y el segundo día,… así podría hacer otras muchas combinaciones con el objetivo de reducir al máximo los trozos a cortar….

¿Cual seria el menor número de trozos (y sus valores unitarios) que tendríamos que hacer para garantizar el contrato día a día, durante los 63 días del contrato de alquiler, sin originar ninguna incidencia?

PISTA: ¿podrían ayudarnos los números binarios?

Saludos

[EMM]

Hola:

Bueno, como nadie pregunta por el 2º método de resolución del problema de la cabra, y teniendo en cuenta que

Propongo otro de geometría.

Voy a exponerlo, teniendo en cuenta que se me ocurrió mientras lo resolvía como hizo Alex:

Si nos fijamos en la zona sombreada en el dibujo de Alex, vemos que podemos dividirla en dos zonas con el mismo área, la derecha y la izquierda, y que cada una de ellas define un triángulo equilátero, de lado R según el dibujo siguiente:



Como ese triágulo es equilátero sus ángulos son todos de 60º = [tex]\pi/3[/tex] es decir un sexto de círculo, y su altura que sacamos por Pitágoras es [tex]h = R* ({\sqrt[]{3}}/2)[/tex]

Vemos tambien que el área de la zona es la suma del área sector de 60º que tiene por vértice la esquina superior izquierda mas el área sector de 60º que tiene por vértice la esquina inferior izquierda menos el area del triángulo que hemos contado dos veces, es decir el área total de la zona será:

[tex]A_{zona} = 2*\left\{{\pi*R^2/6 + \pi*R^2/6 - ({\sqrt[]{3}}/4)*R^2 }\right\}[/tex]

Dividiendo por el área de la circunferencia y operando queda:

[tex]Porcentaje = 100*\left\{{{2/3} - {\sqrt[]{3}}/{(2\pi)} }\right\} = 39.1[/tex] %

Una solución complétamente geométrica

Un Saludo
Eduardo

[chachini]

EMM y Alex

El segundo método de EMM es en el que estaba pensando, pura geometría básica.

[chachini]

Imaginemos que tenemos una barra de plata que podemos cortar en trozos de distinto tamaño a nuestro antojo, siendo susceptibles de ser aceptados en general como garantía de cualquier contrato mercantil.

Queremos alquilar un barco durante todas nuestras vacaciones, que son de 63 días! (como la de los profesores de primaria). El propietario del barco nos pide una garantía para poder cobrar el importe total al final del contrato, en vez de por adelantado, y acordamos que cada día cortaremos y le entregaremos un trozo de la barra equivalente al precio del alquiler estipulado.

Al finalizar el contrato le entregaremos el total del alquiler en efectivo a cambio de que nos entregue los trozos de la barra de plata que le hemos ido dejando cada día en garantía del pago. Así que convenimos la medida del trozo que tenemos que entregar cada día como garantía (trozo “unidad”)

Para ahorrarnos el laborioso tiempo y trabajo que nos lleva el corte, en vez de hacer 63 trozos iguales (unidades), decidimos cortar la barra en trozos de distinto tamaño, de modo que nos permita pagar y cambiar.

Por ejemplo puedo hacer un trozo de 3 unidades, que daría el tercer día de alquiler y recibiría a cambio dos trozos unitarios que le dimos el primer y el segundo día,… así podría hacer otras muchas combinaciones con el objetivo de reducir al máximo los trozos a cortar….

¿Cual seria el menor número de trozos (y sus valores unitarios) que tendríamos que hacer para garantizar el contrato día a día, durante los 63 días del contrato de alquiler, sin originar ninguna incidencia?

PISTA: ¿podrían ayudarnos los números binarios?

Saludos

No se si he entendido bien (la idea es no pagar ningún día de más ¿no?),

Entonces serían 5 cortes de longitud 1, 2, 4, 8 y 16 que tendría que hace los días 1, 2, 4, 8, 16.

1 Corte

10 Corte y recupero el 1
11 = 10 + 1

100 Corte y recupero 1 y 10
101 = 100 + 1
110 = 100 + 10 y recupero el 1 (repetimos lo pasado con el 10)
111 = 100 + 10 + 1

1000 Corte y recupero 100, 10 y 1
1001 = 1000 + 1
1010 = 1000 + 10 y recupero el 1 (repetimos lo pasado con el 100)
1011 = 1000 + 10 +1
1100 = 1000 + 100 y recupero el 10 y el 1 (repetimos lo pasado con el 10)
1101 = ...
1110 = ...
1111 = ...

Hago los cortes en

1 = 1
10 = 2
100 = 4
1000 = 8
10000 = 16

y el último trozo de 32 me queda para cubrir los 63 como 32 + 16 + 8 + 4 + 2 +1

[Alex]

Bien chachini, efectivamente el menor número de trozos para poder cumplir con los depósitos diarios del contrato, durante los 63 días de duración del mismo son potencias de 2. Esto nos asegura que todos los días (del 1 al 63) tendremos una combinación única de trozos que satisface el contrato.

Como solo queremos abarcar 63 días, tomaremos las potencias de 2 cuya suma sea igual o mayor que 63. Entonces 1+2+4+8+16+32=63.

Utilizando por tanto el sistema binario, podemos conocer exactamente para cada día el valor de los trozos que el arrendador debe tener en su poder. Para ello basta convertir el número del día del sistema decimal al binario, tal como tu haces (aunque me permito ser un poco mas extenso, por si algún interesado puede quedarse con alguna duda)

Por ejemplo:

El día 43 deberíamos tener entregados 43 trozos unitarios, pero solo hemos partido la barra en ¡SEIS TROZOS! Y cada trozo es una potencia de dos, es decir
[tex]\{2^0, 2^1,2^2,2^3,2^4, 2^5\} = \{1,2,4,8,16,32\}[/tex]

Convertimos el número decimal 43, en número binario:

[tex]43_{10}=101011_2[/tex] y tendremos directamente la combinación de trozos: 1 de 32, 1 de 8, 1 de 2 y 1 de 1 como se puede ver fácilmente de la siguiente tabla:

[tex]\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
$64$ & $32$ & $16$ & $8$ & $4$ & $2$ & $1$ \\ \hline
- & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
\end{tabular}[/tex]

Los trozos nos vienen dados por la potencia de dos que debajo tienen un UNO, que lógicamente deben sumar 43: [tex]32+8+2+1=43[/tex].

Esto lo podemos hacer con cualquier número comprendido entre el 1 y el 63 (ambos inclusive).

Si la duración del contrato fuese tan solo un día más, necesitaríamos añadir otra potencia de 2, en este caso la 64 y por consiguiente otro trozo de este valor. El añadir esta nueva potencia, nos aseguraría poder hacer esta operación hasta el día 127

Saludos!!