La mágia de los números

[Guest]

Hola m3ntol. Me preocupaba tu largo silencio. Creí que abandonabas. Pero nada, a perseverar. Yo sí tiré la toalla, por enfrascarme al tema poco apetecible por la mayoría, sobre cuerdas y sus dimensiones ocultas.
En cuanto a la eliminación de esta serie, al integrar, ¿cual fue el giro que se le dió para obtener certero resultado?. Siempre se nos dijo que debíamos encauzar los términos de tal forma que pudieran por adición, o por producto, potenciación, o radicación, o cualquier otro medio, reducir al límite las indeterminaciones.
Mi oxidación es tal, que francamente, no veo como llegar al pí cuadrado.

Pero sí, me gustan los planteos que vais exponiendo. Mucho más si detallais los pasos de las resoluciones. Revivo los años 50.

Saludos del Abuelo.

[Alex]

franc:

Alex, el barbero se afeitará a sí mismo, al formar parte de los elementos que forman el conjunto de todos aquellos que pueden afeitarse por sí mismos, y que en éste caso coincide con su condición de barbero.

¡Lo siento franc!, la logica matematica es bastante mas rigurosa y contundente. No pueden dar lugar a interpretaciones. El enunciado es el enunciado y no hay mas cera que la arde.... . La cuestion planteada no tiene solución matematica, tal y como esta planteada. (no es como una situacion politica, donde tiene cientos de soluciones, según convenga a cada uno...).

Si el barbero se afeita a si mismo, esta incumpliendo la orden: El barbero solo puede afeitar a los que NO pueden afeitarse a si mimos y si se afeita, queda demostrado que puede afeitarse asi mismo, por tanto no puede afeitarlo el barbero. Pero es que si no pudiese afeitarse asi mimso, entonces tendria que afeitarse como barbero, con lo cual es una contradicción

Fijate si esta cuestion fue importante, que hizo tembalr la Teoria de Conjuntos de Cantor. El Principio Básico de la formación de conjuntos:"Para toda propiedad O(X), definible en la teoría, exsiste un conjunto Y, cuyos elementos son exactamente los conjuntos X que cumplan la propiedad O(X)" fue retocado por Zermelo..

Pero bueno lo importante es dasrse cuenta hasta que punto las matematicas se fundamentan en una logica rigurosa: No puede haber un concepto que pueda dar lugar a contradicciones. Si no se retira el principio, podria demostrarse que 3=4 o que 2 no es igual a 2.-

Como bien has intuido, el problema es que no esta definido si un Conjunto puede formar parte de si mismo o no. Y esto hoy no esta definido exahustivamente, aunque de momento los matematicos se van entendiendo.

Si tienes un conjunto de sombreros rojos, el propio conjunto ¿es un sombrero? ¿Puede el conjunto de sombreros, ser un elemento de si mismo?. En estse ejemplo se ve claramente que no, pero hay otros que si que puede aceptarse, son los llamados conjuntos singulares. Por ejemplo, el Conjunto de todos los objetos matematicos, sería un objeto y por tanto debe ser incluido en si miksmo. Con todo y como te he dicho, la cosa no esta muy clara (o yo no la tengo muy clara), porque fijate en esta propuesta: Existe un conjunto de todas las cosas que no son sombreros. El conjunto de sombreros rojos no es un sombrero, por tanto podria formar parte del conjunto de cosas que no son sombreros! ¿esto es cierto o falso?... Hoy debemos ayudarnos de un tercer conjunto para poder formar conjuntos...! Bueno tu que esto es un rollo!! Saludos!!

[Alex]

Carlos, me alegra verte liado con las matematicas.... bastante mas entendible que las cuerdas!! .

Ya veo tu inquietud por la serie de los cuadrados inversos... Pues para que compares aqui tienes otra:
La serie de los inversos naturales!! la mas sencilla de todas, la serie armónica:


Bueno pues esta serie ¡es divergente! ¡no puede sumarse! mientras que la de los cuadrados inversos si que se puede. Y otra serie famosa divergente es la inversa de los números primos

Por supuestos que todos los resultados estan demostrados. Me gusta especialmente la demostracion de la divergencia de la serie armonica por su sencillez y contundente lógica:



En cuanto a la demostracion de la suma de los cuadrados inversos, te mencione que esta basada en la identidad de Euler, pero ahora tendria que mirarla... lo hare y la comentaremos.

Saludos

[Alex]

Y para no perder el sentido de este hilo, y volver a la magia de los numeros, fijaros en el numero 252, sus propiedades son de lo mas curiosas.

Aparte de ser capicua, es el menor número que puede escribirse a la vez, como suma de 3, de 7, de 8 y de 9 números naturales consecutivos

252= 83+84+85
252= 33+34+35+36+37+38+39
252= 28+29+30+31+32+33+34+35
252= 24+25+26+27+28+29+30+31+32

Pero es que además, es igual a la suma de SEIS números primos consecutivos: 252=31+37+41+43+47+53

Y si cogemos el cuadrado,.....!:

252x252 = 63504 = 144x441=12^2 x 21^2

Y si os acordais de que todo numero natural puede representarse como la suma de cuatro cuadrados (numeros naturales), este 252, lo podemos representar nada menos que de 7 formas distintas! (1+7+9+11); (2+4+6+14); (2+2+10+12); (1+1+9+13); (1+1+5+15); (4+6+10+10) y (6+6+6+12) NOTA: Cada numero n se entiende elevado al cuadrado. n=n^2)

Saludos

[m3ntol]

La demostración que dió Euler al problema de Basilea se basaba en el desarrollo en serie de Taylor de la función sen(x)/x

Es muy ingeniosa, podeis verla aquí http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Basilea

[acafar]

Hola,

Participo poco en el hilo pero sigo leyéendoos con interes. Excelente información Alex. La paradoja del barbero es fundamental en la historia de las matemáticas. Hay que mencionar que la paradoja no supone algo que las mátemáticas "no puedan resolver", ni nada por el estilo (eso sí sucede con el teorema de Gödel).

La paradoja mejor se puede formalizar como una fórmula de lógica de predicados: Para todo X (si no A(X,X), entonces A(b,X)) donde "b" representa al barbero y A(X,Y) significa "X afeita a Y". Por tanto A(b,X) significa "b afeita a X" y la fórmula entera se lee "Cualquier X cumple que si no se afeita a si mismo cumple que es afeitado por b (el barbero)". Pues bien, está formula no tiene modelos, es lo que se llama una contradicón, es decir simplemente una fórmula falsa como la formalización de "llueve y no llueve". La importancia de la paradoja es que hay razonamientos, como los que menciona Alex, en los que si no se anda atento puedes acabar introduciéndola de forma inadvertida, es decir puedes introducir una fórmula falsa en una demostración y por tanto hacerla incorrecta.

Saludos,

Rafa

[m3ntol]

En efecto, creo que fue Bertrand Russel el que formalizó los razonamientos para evitar que se cayera en esas contradicciones.

[Alex]

Carlos espero que hayas podido ver la pagina de la demostración del problema de Basilea que nos proporciono m3ntol (por cierto esto de wikipedia esta muy bien!...con artículos muy pero que muy serios) y cuya solucion es pi^2/6

Ahora veamos que son dos números coprimos (primos entre si), que serán aquellos cuyo mcd (m,n)=1. Ejemplo: 6 y 9 no son coprimos puesto que mcd(6,9)=1,3. Sin embargo 4 y 9 si lo son pues mcd(4,9)=1.

Visto esto, ¿Cual es la probabilidad de que al elegir al azar dos números naturales, mayores o iguales que 2, sean primos relativos, o coprimos?

Pues nada mas y nada menos que 6/pi^2 !! ... Si es que las matemáticas son un pañuelo!!

Saludos

[Guest]

¿Caramba, caramba!. Me ha entusiasmado la resolución de Euler. Y no entiendo cómo viniendo tal problema demostrado dos siglos antes de que mi profe enseñara a derivar e integrar no lo mencionara jamás.

¿Será que no se preocupaban los docentes por entretenernos con anécdotas y estuvieran únicamente interesados en impartir los conocimientos justos para pasar curso?.

Ahora m3ntol, busca a un sucedáneo de Euler, que aporte algo tan ingenioso para proseguir con el cálculo de la serie de números primos.

Encantado de seguir los malabarismos numéricos que ofreceis. Como consumidor, que no productor, ni inquisidor. Llevo demasiado tiempo anquilosado.
Saludos del Abuelo.

[Alex]

Carlos

Ahora m3ntol, busca a un sucedáneo de Euler, que aporte algo tan ingenioso para proseguir con el cálculo de la serie de números primos.

Creo que fue Euclides, el primero en demostrar que hay infinitos numeros primos, pero NO SE DISPONE DE UNA FORMULA o expresión matematica, que nos permita construir la sucesión de los números primos. Es una sucesión muy rara!! que hasta ahora esta sin descifrar... y eso que los numeros primos son de los mas estudiados e investigados!! Por ejemplo, los numeros primos gemelos son aquellos numeros primos que son consecutivos, como 5 y 7; 11 y 13; ... Se supone que hay infinitos primos gemelos, pero ¡tampoco se ha podido demostrar! y sinembargo si que se ha demostrado que podemos encontrar primos distanciados tantos n como queramos (que me corrija o matice acafar o m3ntol, pero esto si me suena).

De todas formas una expresión matematica que permite la construcción de numeros primos es la de Marsene: 2^k - 1; donde k=numero primo.

Esta formula la puedes iterar tomando k como el resultado de la anterior:

2^3-1=7 que es primo, porque 3 es primo)-->2^7-1=127-->2^127 -1 ... etc. creo que por este procedimiento se ha llegado a un primo de casi UN MILLON de digitos!!

Saludos