Conjetura matemática

[m3ntol]

Juguetenado con números he encontrado una curiosa conjetura que no he sido capaz ni de probar ni de desmentir, dice lo siguiente:

Para todo n que pertenece a los naturales existe un k que pertenece a los naturales tal que:



Por ejemplo:











¿Alguien puede probar o desmentir la conjetura?

NOTA: Editado para poner las fórmulas en 'bonito'

[EMM]

Hola:

Pues si, realmente he comprobado que se cumple.

La solución es muy sencilla teniendo en cuenta la siguiente propiedad de todas las formulas recursivas:

Para demostrar una formula recurrente solo hace falta lo siguiente:

1º .- Comprobar que se cumple para el primer término
2º .- Suponer que es cierta para el termino enesimo
3º .- Comprobar que el termino (n+1) se deduce del anterior.

Si te fijas en este caso veras que el 1º y 2º caso ya están elaborados

Si ahora pones la formula para n+1 y operas veras que puedes deducir que:
[tex]K_{n+1}= {K_n}^3*3^{(2n+1)}-{K_n}^2*3^{(n+1)}+{K_n}[/tex]

El resultado siempre es entero Luego es correcto.

Un Saludo
Eduardo

[m3ntol]

Gracias Eduardo,
no solo lo has demostrado sino que me has dado una forma de calcular los K. Si pudieras detallar las operaciones que has hecho te lo agradecería.
un saludo!

[EMM]

Hola:

Pues he operado así:

De tu definición saco el término enesimo:

[tex]{K_n}= {(2^{3^n}+1)}/{3^{(n+1)}}[/tex]

Luego el término n+1 será:

[tex]{K_{n+1}}= {(2^{3^{(n+1)}}+1)}/{3^{(n+2)}}= {({(2^{3^n}})^3+1)}/{3^{(n+2)}}[/tex]

Por otro lado despejando en tu definición tenemos:

[tex]{2^{3^n}}= {K_n}*{3^{(n+1)}} - 1[/tex]

Si sustituimos en la definicón del [tex]{K_{n+1}}[/tex] queda:

[tex]{K_{n+1}}= {({({K_n}*{3^{(n+1)}} - 1 )^3+1)}/{3^{(n+2)}}[/tex]

No queda mas que hacer la operación de elevar al cubo y hacer la división y te queda el resultado expuesto.

No te lo escribo todo que el LaTex es un tostón

Un Saludo
Eduardo

[m3ntol]

De nuevo,
muchas gracias!

[Alex]

Hay que ver lo que dan los números!! Buena aportación m3ntol y mejor solución EMM.

Saludos