La mágia de los números

[m3ntol]

Franc,
he intentado seguir tu razonamiento y me he perdido irremisiblemente. Te pediría que hicieras una recopilación de TODA la exposición y no escatimes esfuerzos en aclarar conceptos ni des por sentadas explicaciones.

Por mi parte estoy avanzando en otra dirección bastante prometedora. Cuando tenga aclarados varios flecos os lo posteo a ver qué os parece.

[Alex]

franc

Y lo que yo digo, (según lo que él ha dicho), es que no solamente cualquier natural impar por 4 al que le añades 1 dará un número impar, el cual, desembocará en una potencia de dos al aplicarle la fórmula de collatz, sino que cualquier número natural sea par o impar multiplicado por 4 al que le añada 1 dará el mismo resultado

Esto no es cierto franc. Lo que yo digo si es cierto. No confundas potencia de dos con un multiplo de dos!! no es lo mismo: un multipolo de dos no tiene que ser una potencia de dos.

Te voy a poner un ejemplo, con el supuesto de Alex, cogiendo un número impar, por ejemplo el 7:

4x7+1 = 29 ahora lo que el dice es que cogiendo el 29 y aplicando la fórmule de collatz, dará un número multiplo de dos.

Yo digo que también cogiendo un número par, por ejemplo el 12:

4x12+1 = 49, vemos que sucede lo mismo si le aplico la fórmula de collatz, da un multiplo de 2

Pues no es eso franc!! No lo has entendido.

yo lo que digo es que CUALQUIER TERMINO DE LA SERIE: {1,5,21,85,...}
que como ves se obtienen al multiplicar el anterior por 4 y añadirle 1, da una potencia de dos (QUE NO ES LO MISMO QUE UN MULTIPLO DE DOS) Por ejemplo el 6 es MULTIPLO de dos pero NO ES UNA POTENCIA DE DOS

Por eso no vale el ejemplo que pones, porque el 7 no es un término de la serie y por tanto comprobaremos que el 29 que obtienes al aplicarle la formula de Collazt obtienes 29x3=87 87+1=88 que MO ES una potencia de dos, pero si es un multiplo de dos. El 88 no te lleva directamente al 1. Si esta prueba la haces con cualquier numero de la serie que te digo, comprobaras como si que obtienes una potencia...

En este problema, tienen especial interés las POTENCIAS (no lo multiplos) de DOS, porque te llevan directamente al 1, simplemente dividiendo por dos, sucesivamente.

Espero que ahora nos aclaremos...

[franc]

La recopilación no es necesaria m3ntol, todo se reduce a que si 3n´+1 es un subconjunto de 4n´, es decir 4n´contiene a 3n´+1, el valor que le demos a ese 1, (que es un n´contenido en 4n´), condicionará siempre los resultados finales en las operaciones, siendo la diferencia entre esos resultados finales, la misma que hay entre los valores que le demos a 1, y el que le demos al segundo n´ de la segunda operación.

Tenemos que 4n´= 3n´+1, eso es evidente, pero 4n´también es igual a 3n´+ n´, lo que yo he venido diciendo es, que el valor que le demos al segundo n´en la segunda operación, condiciona la diferencia entre los resultados finales después de aplicar la fórmula de collatz en ambos casos. Están relacionados por la diferencia entre el 1 en la primera operación, y el valor que le demos al segundo n´de la segunda operación. Lo que significa que si una de ellas es siempre cierta, la otra también lo es siempre, por la proporcionalidad que guardan en sus resultados.

Vuelvo a poner un ejemplo, cogiendo el 51:

Tenemos para 4n´:

3x51 + 51 = 204 (hemos añadido 50 al +1 de 3n´+1)

El tema es ver que la operación siguiente, utilizando la fórmula de collatz es siempre cierta:

3x51 +51 = 204

204 /2 = 102

102 /2 = 51 aquí se repetiría el ciclo, por lo que 51 es el resultado final, y esto sabemos que es cierto siempre, con cualquier número que escojamos.

Entonces, si 4n´contiene a 3n´+1, es evidente que 3n´+1 aplicando la fórmula de collatz es siempre cierta:

Tenemos para 3n´+1:

3x51+1 = 154

154 /2 = 77

77x3+1 = 232

232 /2 = 116

116 /2 = 58

58 /2 = 49

49x3+1 = 148

148 /2 = 74

74 /2 = 37

37x3+1 = 112

112 /2 = 56

56 /2 = 38, no sigo, ya sabemos que en este caso llega a la unidad, pero es que llega en todos los casos, porque la descomposición en sucesivas divisiones por dos de 4n´es la unidad o un n´, y hemos dicho que 4n´contiene a 3n´+1, por ello la conjetura es siempre cierta.


saludos

[m3ntol]

Bueno,
me he quedado atascado en mi intento y quizá entre todos podamos echar una mano.

Mi planteamiento ha sido diferente a lo hasta ahora expuesto y creo que es prometedor, pediría que lo leyerais con interés y pregunteis cualquier duda.

Nuestro amigo Collatz
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Todos conocemos ya la conejtura de Collatz, en ella se itera un número natural hasta llegar a la secuencia 4,2,1 que itera hasta el infinito. Se trata de demostrar que se cumple para todos los naturales.

Pues bien, mi intención es reducir considerablemente la cantidad de naturales para los que hay que probarla. Y lo hago del siguiente modo:

1) El efecto cascada. Es la calve de mi exposicion y es muy simple. Se trata de que dado un número para el que sabes que se cumple la conjetura de Collatz, automáticamente se va a cumplir también para los términos de la sucesión tanto anteriores como posteriores. Unos ejemplos para aclarar en qué consiste el efecto cascada:

Si la conjetura se cumple para el 5, también se cumple para el 10 (término anterior n/2) y para el 16 (término posterior 3n+1) y se puede aplicar inducción sobre estos términos. Es decir que si se cumple para el 10 también se cumple para el 20 (termino anterior) etcétera...

2) Solo lo probaré para los impares, ya que, por la propia definición de la sucesión, todo número par acabará irremisiblemente en un impar (siendo 1 el caso extremo) Luego probándolo para los impares quedaría probado para todos los naturales dado el efecto cascada.

2) Los números para los que hay que probarlo son de la forma (2p+1), es decir, los impares. Como son impares puedo calcular su término siguiente en la sucesión que será de la forma 3n+1, siendo en este caso n=(2p+1)

Es decir, 3*(2p+1) + 1 = 6p+4, dado que estos términos son todos pares puedo volver a iterar y calcualr su siguiente término que será 3p+2. Es decir, que solo tendría que probarlo para los números naturales de la forma 3p+2.

Y ahora viene lo interesante. Los números de la forma 3p+2 se alternan dando un par y un impar. Como los pares no quiero probarlos (ya que desembocarán en un impar) me quedo solo con los términos impares de esa sucesión que quedan de la forma 6p+5.

De nuevo he reducido los números sobre los que debo probar la conjetura. Si demuestro que es cierta para los naturales de la forma 6p+5 quedará demostrado para todos los naturales. Pero como todoslos números de esa sucesión son impares puedo volver a aplicar el principio de cascada y calcular su término anterior que será:

3*(6p+5)+1 = 18p+16 que curiosamente son todos pares luego puedo calcular sus términos anteriores que serán 9p+8

Y aquí se repite el patrón detectado, esta sucesión alterna pares e impares. Si solo me quedo con los impares la sucesion quedaría como 18p+17 cuyos términos son todos impares, y si volvemos a calcular su antecesor entraremos en un patrón con estas sucesiones:
6n+5
18n+17
54n+53
162n+161
...
...

Basta con probar que cualquiera de ellas cumple la conjetura para probar la conjetura para TODOS los naturales. Y el patrón de esas sucesiones es de la siguiente forma:

2*3^k * n + 2*3^k - 1

que se puede poner más cómodo como:

2*3^k (n+1) - 1

Podemos tomar el k tan grande como queramos y reducir el número de naturales sobre los que probar la conjetura.



Tanteando el terreno
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Es decir que bastaría probar que para todo n de 0 a infinito hay algún k tal que 2*3^k (n+1) -1 cumple la conjetura.

Por probar algo, recuerdo que todos los números de la forma (2^(2p) - 1)/3 cumplen la conjetura ya que son impares por definición y su siguiente iteración de Collatz da como resultado 2^(2p) que cumple la conjetura.

Pues por probar voy a ver si puedo igualar una sucesión con otra, es decir si, para todo n, consigo encontrar un k y un p tal que 2*3^k(n+1)-1 = (2^(2p) - 1)/3 la conjetura habrá quedado demostrada

Si no lo consigo, simplemente no tendremos un resultado concluyente pero merece la pena intentarlo.

Si operamos la igualdad de arriba:

2*3^k(n+1)-1 = (2^(2p) - 1)/3 (movemos el 3 a la izquierda multiplicando y queda)
2*3^(k+1) (n+1) - 3 = 2^(2p) - 1 (movemos a la derecha sumando y queda)
2*3^(k+1) (n+1) = 2^(2p) + 2 (movemos el 2 a la derecha dividiendo y queda)
3^(k+1) (n+1) = 2^(2p-1) + 1


Dado que k lo elegimos arbitrariamente podemos quitar el k+1 y dejar k, también podemos tomar los términos desde n=1 hasta infinito y quedaría algo como:

Ecuación BASE: n * 3^k = 2^(2p-1) + 1

Si para todo n consigo encontrar un k y p que cumplan la igualdad quedará demostrada la conjetura.

El atasco!!
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Llegados a este punto me faltan conocimientos para continuar. He observado la sucesión 2^(2p-1) + 1 (a la que llamaré C(j) ) y produce términos que son múltiplos de potencias de 3 de cualquier orden según el siguiente patrón.

- todos los p dan términos que son múltiplos de 3. C(1)=3, C(2)=9, C(3)=33...

- todos los p de la forma 2+(3*t) (con t=0...infinito) dan términos que son múltiplos de 9. C(2)=9, C(5)=513, C( 8 )=32769...

- todos los p de la forma 5+(9*t) (con t=0..infinito) dan términos que son múltiplos de 27. C(5)=513, C(14)=134217729

Y, en general, la sucesión C(p) genera infinitos múltiplos de cualquier potencia de 3 lo cual tiene muy buena pinta para probar la ecuación base.

Y hasta aquí he llegado. La ecuación no se podrá probar nunca para los n pares ya que tanto el término 3^k como 2^(2p-1) + 1 son impares, pero merece la pena intentar demostrarla y reducir aun más el conjunto de números a probar.

¿Alguna idea o pregunta?

[franc]

Claro Alex, ¡ahora lo he entendido! Lo que sucede es que al ver 4n´+1, no me cuadraba con las condiciones de la fórmula, y era tan sencillo cómo que estabas poniendo un ejemplo.

M3ntol, menudo trabajazo estás haciendo, ahora..., mantengo la esperanza y casi la certeza, que si llegas a buen puerto, lo que estás exponiendo de forma "políticamente correcta", al final va a ser la constatación de lo que yo afirmo.

Tengo algunas lagunas a la hora de entender plenamente lo que expones, por ejemplo, k , veo que significa una potencia, pero qué valor le damos, de 2, de 3, la que se quiera, o la que pueda estar implicita por el desarrollo de otro factor? ¡Ánimo!


saludos

[m3ntol]

Tengo algunas lagunas a la hora de entender plenamente lo que expones, por ejemplo, k , veo que significa una potencia, pero qué valor le damos, de 2, de 3, la que se quiera, o la que pueda estar implicita por el desarrollo de otro factor? ¡Ánimo!


saludos

Ahí está la gracia, puedes darle el valor que te de la gana y sigue siendo válida la demostración. Es decir, si tomo k=3 tendré que demostrar que la sucesión 54 * (n+1) - 1 cumplen todos la conjetura de Collatz.

Si elijo un k enooooorme pues me quedará una sucesión de la forma:

cacho_númeraco * (n+1) - 1 y deberé probarlo para todo n

Es más, la verdadera gracia es que no tengo por qué fijar a priori el k y luego probar para todos los n de esa suceción. Puedo hacerlo al revés, es decir, dado un n, encontrar un k tal que

2*(3^k) (n+1) -1 cumpla Collatz. Cfreo que es un enfoque diferente y que abre nuevas puertas. Solo que me falta fondo para encontrar la llave que las abre.

[franc]

Me vais a perdonar que no siga, pues mi exposición ya no da más de sí, sólo dejo alguna que otra cosa que me ha parecido interesante:

La descomposición en sucesivas divisiones por dos de 4n´es la unidad o un n´, y hemos dicho que 4n´contiene a 3n´+1, por ello la conjetura es siempre cierta, dado que si 3n´+1 está contenido en 4n´ y hemos dicho que el resultado final de la descomposición de 4n´ es un número impar o la unidad, es claro que el resultado final de 3n´+ 1 /2 será siempre 1, porque en éste caso es el impar 1 el que se añade a los tres restantes para formar 4n´.

Para 4n´siendo n´=1

Aplicamos la fórmula de collatz: 3n´+1

3x1+1 = 4 sabemos que da 1

Para 4n´siendo n´= 7

Aplicamos la fórmula de collatz: 3n´+1

3x7 + 7 = 28, sabemos que da 7

Se cumple lo dicho anteriormente, que la descomposición de 4n´en sucesivas divisiones por dos da n´o la unidad, dependiendo si es la unidad la que se añada para formar 4n´ó sea un número impar superior a la unidad el que se añade. Siendo el resultado final proporcional a lo grande que hagamos la unidad.


Y como colofón ¡Mi fórmula!


[4n´={(4n´ {(3n´+1))}]



Es evidente que 1 es un número impar por lo que el conjunto {3 n' + 1} es un subconjunto del {4 n'}, y lo que es válido para el conjunto mayor lo es para el subconjunto. Si para 4n´ es válido que su división por dos nos lleva o bien a la unidad o a un número impar, entonces es evidente que 3n´+1(y sus sucesivas divisiones por 2) nos lleva siempre, siempre a la unidad, porque 3n´+1 es un subconjunto de 4n´, y de nuevo repito, que 3n´+1, nos lleva a la unidad porque es la unidad la que le añadimos, si en lugar de ser la unidad la que añadimos, es un impar superior, el resultado final será un impar proporcional al impar añadido.


M3ntol, yo creo que con un poco de alquimia se puede conseguir una buena llave que abra definitivamente la puerta.


saludos

[Guest]

m3ntol, tu idea para mí, resulta original y se sigue su desarrollo sin contradicción alguna.

Ignoro lo avanzadas matemáticas que estudiaste, en comparación con las mías, por razón de desfase generacional. Pero si no hay alguna novedosa forma de solucionar diofánticas, (que no se estudiaba entonces) me temo que después de hacer un largo recorrido incluso ingenioso, vamos a caer en el pozo de la redundancia, como me convencí yo mismo por los conocimientos arcaicos.

En principio, parece que vayas eliminando posibles valores repetitivos de la serie de números naturales, pero en su final, esta serie es siempre infinita. Lo cual indica que por muchas reducciones que consigas, su destino es el infinito, inalcanzable.

Por eso hablaba de si se conocía alguna manera de lograr resolver una integral definida, con autoridad para su extrapolación.

Estoy atento a lo que vayas deduciendo, incluso aportaría mis ocurrencias si es que consigo alguna, aunque desgraciadamente, en este caso me domina el prejuicio.

También me gustaría que te ayudaran acafar y Alex, más duchos en la materia.(Que yo, claro).

En cuanto a franc, sé, porque lo tiene confesado en varios hilos, que las matemáticas algébricas, no son su fuerte y precisamente sus conocimientos, los expone sui géneris.
Para más Inri, tenemos que expresarnos de la restringida forma que nos permite el programa informático, para subirlo al foro.

Cuando queremos indicar una variable distinta de otra , usamos dos simbolos, o letras distintas, no la misma sobreentendiendo que en un término significa A y en el otro B. (Cosa usada por franc, despistándonos).
Tampoco es lo mismo como remarca Alex, una potencia de 2, que lo grafiamos como 2^n (en mi tiempo 2^x), que un múltiplo de 2, grafiado 2 n (en mi tiempo 2 x). Y si queremos complicarlo con un valor general de potencias de números arbitrarios:
a^n (en mi tiempo a^x).

Enfín que este hilo, resulta un buen preventivo para postergar el alzheimer.

Saludos del Abuelo.

[franc]

M3ntol, me ha surgido una pregunta cuando dices:

Y hasta aquí he llegado. La ecuación no se podrá probar nunca para los n pares ya que tanto el término 3^k como 2^(2p-1) + 1 son impares, pero merece la pena intentar demostrarla y reducir aun más el conjunto de números a probar.



Dices que no se podrá probar nunca para los n pares, pero eso es evidente, no ya que no se pueda probar, sino que si aplicas el 3n +1 /2 a un número par, la resolución es inmediata, lo que se hace es probar que nunca llegará a 1, porque la resolución inmediata es un número impar, y por lo tanto ya no es divisible por dos, por lo que ahí se termina:

Para n =8

3x8 +1 = 25, se acabó, y así con cualquier número par.

De ahí mi ejemplo con el 4n´, que da un número par, y su resultado final al descomponerlo sucesivamente por dos será 1 ó un número impar, y dado tambíen que una de las combinaciones que pueden formar 4n´ es 3n´+1, sabiendo ya que la descomposición de 4n´ dará 1 o un número impar, es lógico que si en 4n´ contiene a 3n´+1, el resultado final al aplicar la fórmula de collatz a éste último será 1, porque la unidad es una parte de 4n´, ya que 4/4 = 1, que es lo mismo que siendo n´=1:

3n´+1 aplicando la fórmula:

3x1 +1 = 4

4 /2 = 2

2 /2 = 1 o lo que es lo mismo:

1+1+1+1 = 4 4 /2 = 2, 2 /2 = 1

4n´ aplicando la fórmula:

4x1 = 4

4 /2 = 2

2 /2 = 1, o lo que es lo mismo:

1+1+1+1 = 4 /2 = 2, 2 /2 = 1



saludos

[m3ntol]

No Franc, me he expresado mal.

El método que he seguido lo que hace es evitar tener que probar la todos los naturales. En su lugar solo hay que probar para aquellos naturales que surgan de la sucesión:

2*3^k (n+1) - 1 tomando cualquier k que quieras y, necesariamente, probando todos los términos que genere desde n=1...infinito.

Es un modo de cambiar el enfoque y se puede atacar esa sucesión de forma más asequible que la de Collatz. Es decir, hay que probar que todos los números generados por esa sucesión (desde n=1 hasta infinito) cumplen Collatz, con la ventaja de que podemos tomar el k que nos de la gana.

Dentro de esos 'ataques al castillo' se me ocurrió que hay una sucesión de números que cumplen siempre la conjetura Collatz, que es la sucesión (2^(2p) - 1)/3

Mi intento era conseguir que para todo n, se encontrase un k y un p tal que n * 3^k = 2^(2p-1) + 1

Y eso es imposible ya que tanto 3^k como 2^(2p-1) + 1 son impares y nunca van a cumplir la igualdad para n par.

Ese 'n' del que hablo no tiene NADA que ver con demostrar la conjetura para los naturales pares, solo se refiere a que los términos pares de la sucesión 2*3^k (n+1) - 1 nunca van a ser iguales a un número cuyo siguiente término de Collatz sea una potencia de 2.

Pero aun así, merecería la pena probar si para los n impares se encuentra solución a la igualdad planteada. Por ello estaba intentando solucionar la ecuación.

Analizando la ecuación base me interesa saber cuantos números de la secuencia 2^(2p-1) + 1 son múltiplos de 3^k ya que así quedaría probado para los divisores puesto que

n= 2^(2p-1) + 1 / 3^k

Antes he avanzado un poco sobre la sucesión 2^(2p-1) + 1 viendo que genera infinitos múltiplos de 3^k para cualquier k.

Avanzando sobre eeste aspecto se ve que genera los siguientes múltiplos:

para 3^1 p=0...infinito
para 3^2 p=2+(3t) con t=0...infinito
para 3^3 p=5+(9t) con t=0...infinito
para 3^4 p=14+(27t) con t=0...infinito

Y en general, la secuencia 2^(2p-1) + 1 genera múltiplos de 3^k en los términos p=(1 + 3^(k-1) ) / 2 + t * 3^(k-1) para t=0...infinito. Lo pongo en bonito abajo:

la secuencia produce múltiplos de 3^k para los siguientes valores de p:

con t=0...infinito

Operando (2p-1) +1 sustituyendo p por la secuencia anterior queda:



Es decir, que la secuencia de números genera múltiplos de 3^k para t=0...infinito.

Dicho de otra manera, todos los N obtenidos de esta ecuación:


para cualquier k y t, son números de la secuencia 2*3^k (n+1) - 1 para los que se verifica la conjetura de Collatz...

Ahora solo me quedan los que no pertenecen a esos N...

Creo que avanzo pero poco y cada puerta lleva a callejones sin salida.