Repasando un poco lo que veíamos en la anterior entrega de estos apuntes, aprendimos que, a la hora de planificar una misión espacial, un dato fundamental era lo que llamábamos Velocidad Característica de Misión, que definíamos como la suma de todos los cambios de velocidad necesarios para alcanzar el objetivo propuesto (inyección en órbita, cambios de plano orbital, frenado, etc.); una vez conocido este dato, y determinado el tipo de combustible propulsor que se iba a emplear (velocidad de los gases de la tobera), podíamos determinar la Razón de Masas o relación entre masa inicial (carga útil+estructuras+propulsante) y la masa final (carga útil+estructuras):
donde,
e = 2,718
Ve = velocidad caraterística de misión
v = velocidad de los gases de la tobera
R = razón de masas
También aprendimos a calcular el Impulso Específico, esto es, el rendimiento energético que proporciona el propulsante seleccionado y que se medía en segundos. Cuanto más alto sea el impulso, más rendimiento obtendremos del combustible. La fórmula general empleada era:
Isp = V x 9,8
Donde V es la velocidad de los gases de la tobera. En el caso de la combinación hidrógeno+oxígeno líquidos (V = 4.500 m/s), el impulso específico es de 459 sg.
En el caso práctico propuesto, suponíamos el envío de una sonda de 100 kilos de carga útil a los anillos de Saturno. De los datos obtenidos de los cálculos encontrábamos que, empleando exclusivamente combustibles químicos en la misión, ésta se volvía imposible, porque las razones de masa eran inmensas. La única manera de que se pudiera realizar la misión era empleando el mecanismo conocido como asistencia gravitacional, en el que se usa la gravedad de los planetas para acelerar, decelerar y/o cambiar la trayectoria de una nave. Si al final conseguíamos reducir la masa total de la nave a 4.600 kg (R = 46) nos encontraríamos con un artefacto en el que casi el 98% del total sería combustible:
Pf = 1-(1/R)
Donde R es la razón de masa y Pf es la fracción que supone el propulsor.
Bien, vamos a ver hoy una ecuación muy famosa y que permite responder a la siguiente pregunta: «Supongamos que disparamos un cohete en el espacio hasta que su combustible se agote totalmente. ¿Qué velocidad alcanzará?»
Pues basta con aplicar la llamada ecuación del cohete o DeltaV:
donde,
n = número de etapas del cohete
V = velocidad de los gases de la tobera
Ln = logaritmo natural
R = razón de masas
Veámoslo con otro caso práctico (podréis emplear la calculadora científica de Windows para seguir los cálculos): Disparamos un cohete de una sóla etapa propulsado por hidrógeno y oxígeno líquidos con una razón de masas de 10. Cuando todo su combustible se haya quemado, tendremos que su DeltaV es de:
DeltaV = 1 x [4500 x Ln(10)] = 1x [4500 x 2,30] = 1x 10361,63 = 10.361,63 metros/sg
Es decir, nuestro cohete alcanzará una velocidad máxima de 10,37 km/s. Más que suficiente para alcanzar una órbita terrestre baja (400 km; DeltaV de 9,7 km/s).
Supongamos ahora que disponemos de un cohete con 2 etapas desechables, idénticas en rendimiento y razón de masas. El resultado sería:
DeltaV = 2 x [4500 x Ln(10)] = 2 x [4500 x 2,30] = 2 x 10361,63 = 20723,27 metros/sg
Vamos, que nuestro cohete alcanzará una velocidad máxima de 20,72 km/s. A más etapas, más velocidad, pero incrementando la razón de masa, según la fórmula inversa:
donde,
e = 2,718
V = velocidad de los gases de la tobera
R = razón de masas
Sustituyendo, tenemos que R = 99,95 (en el caso del cohete de una sóla etapa, R = 10)
En este caso, el combustible sopondría el 99% de la masa total del cohete. Vemos, pues, que al incrementar el valor de DeltaV sin incrementar el impulso específico del combustible, la razón de masas crece exponencialmente.
La utilidad del valor DeltaV es evidente y va más allá de saber a qué velocidad se moverá el vehículo si quema todo el combustible, pues nos permite conocer si la velocidad total que pueda desarrollar nuestra nave es suficiente para hacer frente a la Velocidad Característica de Misión. Es por ello que se dice que para una misión dada es necesario un DeltaV determinado.
En el caso del viaje a los anillos de Saturno, la suma de los cambios de velocidad o velocidad de misión era de 48 km/s. Supongamos que abordamos esta misión en el año 2025 y que para ella disponemos de un motor nuclear electro-térmico de fisión basado en el concepto MITEE (ver http://www.nuclearspace.com/A_HEADNA.HTM), empleando hidrógeno como masa de reacción (velocidad de chorro de gases de 17.660 m/s). Con la fórmula ya conocida:
tenemos que R = 15,15 (es decir, el combustible supondrá un 93% de la masa total)
Obteniendo el valor de DeltaV, tenemos que:
DeltaV = 48 km/sg
O lo que es lo mismo, con ese avanzado motor nuclear y una razón de masas de 15,15 podríamos llevar a cabo dicha misión sin necesidad de asistencias gravitacionales. Pero dado que la razón de masas sigue siendo muy alta, también convendría en ese caso emplear la técnica de la asistencia gravitatoria para que la nave fuese más ligera. Supongamos que maniobramos en las esferas de influencia de Marte y de Júpiter para ganar más velocidad y así reducimos la velocidad de misión a 20 km/s:
R = 3,10 (esto es, el combustible supondría el 68% del total del vehículo)
Pero si la razón de masas fuera en lugar de 4 en lugar de 3,10 tendríamos que:
DeltaV = 24,48 km/sg
Esto es, con una razón de masas de 4 (75% del total sería combustible) tendríamos 4,48 km/sg adicionales que podríamos emplear en acortar la duración del viaje.
Pero probemos con un sistema de propulsión con un impulso específico más alto, en concreto con un motor iónico. El cálculo del impulso específico para los sistemas de propulsión iónica se realiza con esta fórmula:
donde,
g = aceleración debida a la gravedad
q = carga eléctrica de un ión individual
m = masa del ión individual
Va = voltaje con el que se aceleran los iones
Supongamos que disponemos de una supernave espacial dotada de un gran, avanzado y potente sistema iónico que nos proporcionara una velocidad de chorro de 157 km/s con un empuje de 10.000 newtons (requiriendo para ello una potencia eléctrica de ¡¡800 megavatios!!). La razón de masas sería de:
R = 1,36
Es decir, el combustible supondría sólo el 26% de la masa total.
En este caso podríamos emplear una razón de masas mayor para acortar el viaje en lo posible. Pongamos que elevamos la razón de masa a 2 (la proporción del combustible sería del 50%), lo que nos daría un DeltaV de:
DeltaV = 108,82 km/s
Pero claro, el empuje sería muy bajo (1.020 kg fuerza o 10.000 newtons). Y dado que la nave sería muy grande (sólo el sistema de propulsión tendría una masa de 400 toneladas), quizás no nos saliera muy rentable la misión.
Bien, por hoy ya es suficiente.
Saludos y hasta el próximo capítulo.
Estamos pensando en meter un módulo de latex para que puedas escribir las fórmulas directamente en el mensaje, ¡que currado!
