[tex]\gamma = \frac{1}{\sqrt[2]{1-\frac{v^2}{c^2}}}[/tex]
En velocidades normales, gamma es uno o muy muy próximo a uno y la física newtoniana es aplicable. Cuando nos movemos a velocidades relativistas gamma empieza a tomar valores más y más grandes hasta valer infinito para v=c.
Uno de los usos del factor gamma es que indica como varían el tiempo, el espacio y la masa con la velocidad. Así tenemos que:
[tex]t=t_0 * \gamma[/tex]
[tex]l=\frac{l_0}{ \gamma}[/tex]
[tex]m=m_0 * \gamma[/tex]
Es decir, el tiempo se expande, el espacio se contrae y la masa aumenta. Si nos fijamos en esta última ecuación vemos que la masa de un cuerpo es la suma de una masa residual (o en reposo) más un incremento de masa debido a su velocidad. Vamos a poner la ecuación de una manera que nos e más cómoda:
[tex]m = m_0 * (1-\frac{v^2}{c^2})^{-\frac{1}{2}}[/tex]
Cuando nos movemos a velocidades no relativistas el término [tex]\frac{v^2}{c^2}[/tex] es muy pequeño por lo que la fórmula se puede expresar así:
[tex]m = m_0 * (1-\textrm{algo muy pequeno})^{-\frac{1}{2}}[/tex]
No se si recordáis la aproximación para series de potencias. Cuando trabajamos con potencias de (1+algo muy pequeño) se puede aproximar a:
[tex](1+ \epsilon)^n \approx 1 + n * \epsilon[/tex]
Así que nuestro incremento de masa, a velocidades no relativistas, se puede expresar como:
[tex]m = m_0 * (1 + \frac{1}{2} \frac{v^2}{c^2})[/tex]
Si lo desarrollamos un poquito...
[tex]m = m_0 + \frac{\frac{1}{2} m_o v^2}{c^2}[/tex]
¿Os suena el numerador del segundo término de la ecuación? Si, es la energía cinética del objeto. Es decir, que el incremento de masa es
[tex]\Delta m = \textrm{Energia cinetica} / c^2[/tex]
O lo que es lo mismo:
[tex]\textrm{Energia cinetica} = \Delta m * c^2[/tex]
La famosa relación de Einstein estaba escondida en las ecuaciones de Lorentz.
Una cosa a la que no he podido resistirme :p calcular cuantos kilos ha engordado la tierra debido a su velocidad orbital. La masa de la tierra es [tex]6*10^24[/tex] y se mueve a [tex]3*10^4[/tex] m/s
[tex]\Delta m = \frac{1}{2} 6*10^{24} 3*10^8 * 3*10^{-16} = 3 * 10^{16} Kg[/tex]
O lo que es lo mismo, Treinta mil billones de toneladas
¿parece mucho? bueno, en realidad es una variación de una parte entre cien millones respecto al peso total de la tierra.
