Factor gamma, variación de la masa y e=mc2

[m3ntol]

El factor gamma es muy utilizado en relatividad e indica como de relativista es la velocidad a la que te mueves, está definido como

[tex]\gamma = \frac{1}{\sqrt[2]{1-\frac{v^2}{c^2}}}[/tex]

En velocidades normales, gamma es uno o muy muy próximo a uno y la física newtoniana es aplicable. Cuando nos movemos a velocidades relativistas gamma empieza a tomar valores más y más grandes hasta valer infinito para v=c.

Uno de los usos del factor gamma es que indica como varían el tiempo, el espacio y la masa con la velocidad. Así tenemos que:

[tex]t=t_0 * \gamma[/tex]
[tex]l=\frac{l_0}{ \gamma}[/tex]
[tex]m=m_0 * \gamma[/tex]

Es decir, el tiempo se expande, el espacio se contrae y la masa aumenta. Si nos fijamos en esta última ecuación vemos que la masa de un cuerpo es la suma de una masa residual (o en reposo) más un incremento de masa debido a su velocidad. Vamos a poner la ecuación de una manera que nos e más cómoda:

[tex]m = m_0 * (1-\frac{v^2}{c^2})^{-\frac{1}{2}}[/tex]

Cuando nos movemos a velocidades no relativistas el término [tex]\frac{v^2}{c^2}[/tex] es muy pequeño por lo que la fórmula se puede expresar así:

[tex]m = m_0 * (1-\textrm{algo muy pequeno})^{-\frac{1}{2}}[/tex]

No se si recordáis la aproximación para series de potencias. Cuando trabajamos con potencias de (1+algo muy pequeño) se puede aproximar a:

[tex](1+ \epsilon)^n \approx 1 + n * \epsilon[/tex]

Así que nuestro incremento de masa, a velocidades no relativistas, se puede expresar como:

[tex]m = m_0 * (1 + \frac{1}{2} \frac{v^2}{c^2})[/tex]

Si lo desarrollamos un poquito...

[tex]m = m_0 + \frac{\frac{1}{2} m_o v^2}{c^2}[/tex]

¿Os suena el numerador del segundo término de la ecuación? Si, es la energía cinética del objeto. Es decir, que el incremento de masa es

[tex]\Delta m = \textrm{Energia cinetica} / c^2[/tex]

O lo que es lo mismo:

[tex]\textrm{Energia cinetica} = \Delta m * c^2[/tex]

La famosa relación de Einstein estaba escondida en las ecuaciones de Lorentz.

Una cosa a la que no he podido resistirme :p calcular cuantos kilos ha engordado la tierra debido a su velocidad orbital. La masa de la tierra es [tex]6*10^24[/tex] y se mueve a [tex]3*10^4[/tex] m/s

[tex]\Delta m = \frac{1}{2} 6*10^{24} 3*10^8 * 3*10^{-16} = 3 * 10^{16} Kg[/tex]

O lo que es lo mismo, Treinta mil billones de toneladas ¿parece mucho? bueno, en realidad es una variación de una parte entre cien millones respecto al peso total de la tierra.

[eldoctorbacterio]

m3ntol, me encantan tus posts. Cómo puede expicarse cosas tan complicadas de manera tan simple! y lo de la Tierra engordada...que pasada

Deberías tener un blog tipo el tamiz
Un saludo.

[seitam]

Faltaría decir que aumenta respecto al punto de referencia del sistema, pero que nosotros, al desplazarnos con ella, no notamos ningún cambio y la masa es invariante de la del reposo. Buen post.

[m3ntol]

Faltaría decir que aumenta respecto al punto de referencia del sistema, pero que nosotros, al desplazarnos con ella, no notamos ningún cambio y la masa es invariante de la del reposo. Buen post.

En efecto, todos esos efectos solo son observables por un sistema de referencia externo. Es decir, si ponemos un observador en la Tierra y toma medidas de, por ejemplo, gravedad y hace experimentos de tiro parabólico, planos inclinados etc y luego ese mismo observador lo llevamos al Sol, y con un super-telescopio observa los mismos experimentos verá que los resultados cambian según las variaciones dadas antes para tiempo, distancia (en la dirección del movimiento) y masa.

[m3ntol]

Volviendo sobre el factor gamma, esta es una gráfica que muestra como cambia a medida que nos acercamos a la velocidad de la luz. La escala es porcentual, desde 0 que es parado hasta 1 que es c.



Para hacernos una idea estos son los valores que va tomando. Si yo, que peso 75Kg, mido 1,75 y tengo un ritmo cardiaco de 70 pulsaciones por minuto, me tumbo sobre una báscula que se mueva a esa velocidad, esto es lo que vería alguien desde fuera:

al 50% de la velocidad de la luz [tex]\gamma \approx 1,15[/tex] peso 86,25 Kg, altura 1,5 m. 60 pulsaciones
al 75% de la velocidad de la luz [tex]\gamma \approx 1,5[/tex] peso 112,5 Kg, altura 1,2 m. 46 pulsaciones
al 90% de la velocidad de la luz [tex]\gamma \approx 2,3[/tex] peso 172,5 Kg, altura 76 cm. 30 pulsaciones
al 99% de la velocidad de la luz [tex]\gamma \approx 7[/tex] peso 525 Kg, altura 25 cm. 10 pulsaciones

La relatividad parece ser muy mala para estar en forma

[seitam]

Esta es la gráfica que todos los físicos se sacan cuando alguien habla de la posibilidad de la paradoja de los hermanos gemelos:
http://www.youtube.com/watch?v=9K2u9sZWTYo
Está claro que se necesita una cantidad ingente de energía para llegar a estas velocidades, muy lejos de la tecnología actual.