Ayuda en cálculo para un novato
Ayuda en cálculo para un novato
Mensajepor Monopoli » 04 Jul 2012, 03:23
Hola! No soy muy bueno en las matemáticas, pero me gustaría que me ayudaran en alguna formulita que me ayude a determinar a la distancia que tengo que poner un objeto de un tamaño X para que tenga un determinado diametro aparente. Para ejemplificarlo pondre el tipico mito de 'las dos lunas' que consiste en que marte se acercara a la tierra y se vera igual de grande que la luna. ¿¿A qué distancia tendre que poner a marte para que tenga el mismo diametro aparente que la luna?? Muchas gracias si me ayudan
Telescopio retractor Celestron OmniXLT 120 mm
Longitud focal: 1000 mm
Montura ecuatorial
Oculares:25 mm, 20 mm, 12 mm, 6 mm, 4 mm.
Sin seguimiento.
Webcam NGS, 5 megapixeles.
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Re: Ayuda en cálculo para un novato
Mensajepor GONZALO » 04 Jul 2012, 09:52
El problema es lineal. A doble tamaño doble distancia. Mira el diámetro de Marte y de la Luna y a partir de ahí lo deduces.
Re: Ayuda en cálculo para un novato
Mensajepor Monopoli » 04 Jul 2012, 12:26
Es decir, suponiendo que D(marte)= 6780 km y D(Luna)= 3474 km. El diámetro de Marte es 1'95 veces mas grande que la luna... ¿eso significa que tendria que ponerlo a una distancia de 1'95 veces mas alejado que la de la tierra y la luna?
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Re: Ayuda en cálculo para un novato
Mensajepor GONZALO » 04 Jul 2012, 12:52
Ves como sabes más matemáticas de las que imaginabas ?
Asi es. De todas formas si te haces un dibujito a mano en un papel te darás cuenta de que esto se cumple si fueran discos planos lo que ves. Al ser esferas cuando están cerca lo que ves no es el diámetro.
Asi es. De todas formas si te haces un dibujito a mano en un papel te darás cuenta de que esto se cumple si fueran discos planos lo que ves. Al ser esferas cuando están cerca lo que ves no es el diámetro.
Re: Ayuda en cálculo para un novato
Mensajepor Alex » 04 Nov 2012, 17:31
Hola Monopoli, ya he visto que has resuelto, por deducción lineal, el problema que planteabas a partir de la pista que te proporcionó Gonzalo.
A pesar de ello, y como veo que disponemos de tiempo y no entorpecemos a otros foreros, podría completarse el hilo con los fundamentos matemáticos donde apoyarnos para resolver este y otros problemas similares y que no es otro que las aproximaciones obtenidas al desarrollar las funciones fundamentales de trigonometría: seno, coseno y tangente en series de potencias, (sólo válido para ANGULOS PEQUEÑOS, tal como sucede en las distancias astronómicas o en la óptica geométrica, etc.)
Estas aproximaciones de equivalencia son: (a) = sen(a) = tang(a) (el signo de igualdad debe entenderse de equivalencia, en este caso).
Donde (a) es el ángulo con vértice en nuestro ojo y cuyos lados pasan por los extremos del diámetro del objeto celeste. NOTA: Los ángulos deben expresarse en radianes. 2pi rad = 360º)
De tal modo que el problema que planteas, puede resolverse utilizando estas aproximaciones vistas.
Datos conocidos:
Distancia media a la Luna = 384.000 km
Diámetro lineal de la Luna = 3.476 km
Queremos calcular el diámetro angular de la Luna = (a)
Como (a) = tg (a), tenemos que (a) = Diámetro objeto / distancia. Es decir: (a) = 3.476 / 384.000 = 0,009052 rad = 0º,5454 (o sea, poco mas de medio grado)
Como el diámetro de Marte es de 6794 km y queremos verlo con un diámetro angular de 0º,5454 = 0,009052 rad. Tenemos que:
0,009052 = 6794 / X, de donde, X = 6794/0,009052 = 750552,364 km
Debería obtenerse la misma distancia que se obtiene con el razonamiento que has deducido con las respuestas dadas, si tomas la distancia a la Luna de 384.000 km y operas con 4 ó 5 decimales en la relación de diámetros Marte / Luna.
Otro ejemplo suponiendo otra incógnita:
El ojo humano es capaz de distinguir dos estrellas separadas por un minuto de arco. ¿Cuál sería la altura minima en metros, de un poste situado en la Luna para poder distinguirlo a simple vista? (suponemos que el poste, está suficiente iluminado en sus extremos por dos potentes focos)
Solución:
Datos conocidos: ángulo subtendido = 1’ y distancia = 384000 km.
Queremos calcular la longitud (en altura) del poste.
(a) = long.poste / distancia. Despejamos long. poste
1.- Long. poste = (a) * distancia.
2.- Convertimos un minuto de arco en radianes: 1’ = 2 pi /( 360*60) = 2,90888E-4
3.- Sustituimos en 1: Long.poste = 2,90888E-4 * 384000 km = 111,7 km
Si el poste es mas corto, nuestro ojo no lo podría resolver. En vez de ver los dos focos de los extremos, veríamos un solo foco (eso sí, mas grande...).
Otro problema importante, es el cálculo de la longitud del PARSEC (muy utilizada en astronomía), que no es mas que la distancia a la que se debería situar la U.A. (unidad astronómica) para que subtienda un ángulo de UN SEGUNDO de arco.
Datos conocidos:
Unidad Astronómica = Distancia Sol-Tierra (sería como la long. del poste del ejemplo anterior)
Medida angular (angulo subtendido) = 1” (segundo de arco)
Deseamos calcular la distancia, esto es, la longitud del parsec
1.- 1” = 2pi/(360*60*60) =4,84818E-6 rad
2.- Sustituimos valores en: distancia = diametro / angulo. Es decir:
Pasrsec = 1 ua / 4,84818E-6 = 206264,80 u.a (por redondeo 206.265 ua).
Saludos y perdón por la reactivación (un poco pasada) del hilo.
A pesar de ello, y como veo que disponemos de tiempo y no entorpecemos a otros foreros, podría completarse el hilo con los fundamentos matemáticos donde apoyarnos para resolver este y otros problemas similares y que no es otro que las aproximaciones obtenidas al desarrollar las funciones fundamentales de trigonometría: seno, coseno y tangente en series de potencias, (sólo válido para ANGULOS PEQUEÑOS, tal como sucede en las distancias astronómicas o en la óptica geométrica, etc.)
Estas aproximaciones de equivalencia son: (a) = sen(a) = tang(a) (el signo de igualdad debe entenderse de equivalencia, en este caso).
Donde (a) es el ángulo con vértice en nuestro ojo y cuyos lados pasan por los extremos del diámetro del objeto celeste. NOTA: Los ángulos deben expresarse en radianes. 2pi rad = 360º)
De tal modo que el problema que planteas, puede resolverse utilizando estas aproximaciones vistas.
Datos conocidos:
Distancia media a la Luna = 384.000 km
Diámetro lineal de la Luna = 3.476 km
Queremos calcular el diámetro angular de la Luna = (a)
Como (a) = tg (a), tenemos que (a) = Diámetro objeto / distancia. Es decir: (a) = 3.476 / 384.000 = 0,009052 rad = 0º,5454 (o sea, poco mas de medio grado)
Como el diámetro de Marte es de 6794 km y queremos verlo con un diámetro angular de 0º,5454 = 0,009052 rad. Tenemos que:
0,009052 = 6794 / X, de donde, X = 6794/0,009052 = 750552,364 km
Debería obtenerse la misma distancia que se obtiene con el razonamiento que has deducido con las respuestas dadas, si tomas la distancia a la Luna de 384.000 km y operas con 4 ó 5 decimales en la relación de diámetros Marte / Luna.
Otro ejemplo suponiendo otra incógnita:
El ojo humano es capaz de distinguir dos estrellas separadas por un minuto de arco. ¿Cuál sería la altura minima en metros, de un poste situado en la Luna para poder distinguirlo a simple vista? (suponemos que el poste, está suficiente iluminado en sus extremos por dos potentes focos)
Solución:
Datos conocidos: ángulo subtendido = 1’ y distancia = 384000 km.
Queremos calcular la longitud (en altura) del poste.
(a) = long.poste / distancia. Despejamos long. poste
1.- Long. poste = (a) * distancia.
2.- Convertimos un minuto de arco en radianes: 1’ = 2 pi /( 360*60) = 2,90888E-4
3.- Sustituimos en 1: Long.poste = 2,90888E-4 * 384000 km = 111,7 km
Si el poste es mas corto, nuestro ojo no lo podría resolver. En vez de ver los dos focos de los extremos, veríamos un solo foco (eso sí, mas grande...).
Otro problema importante, es el cálculo de la longitud del PARSEC (muy utilizada en astronomía), que no es mas que la distancia a la que se debería situar la U.A. (unidad astronómica) para que subtienda un ángulo de UN SEGUNDO de arco.
Datos conocidos:
Unidad Astronómica = Distancia Sol-Tierra (sería como la long. del poste del ejemplo anterior)
Medida angular (angulo subtendido) = 1” (segundo de arco)
Deseamos calcular la distancia, esto es, la longitud del parsec
1.- 1” = 2pi/(360*60*60) =4,84818E-6 rad
2.- Sustituimos valores en: distancia = diametro / angulo. Es decir:
Pasrsec = 1 ua / 4,84818E-6 = 206264,80 u.a (por redondeo 206.265 ua).
Saludos y perdón por la reactivación (un poco pasada) del hilo.
Sol y luna y cielo proclaman al divino autor del mundo...
Re: Ayuda en cálculo para un novato
Mensajepor GONZALO » 05 Nov 2012, 08:41
Ya veo que te entretienes Alex. Estas nubes....
Ahora falta resolverlo sin aproximaciones...
A mi me dio mucha pereza en su momento, pero ya que has resucitado el tema voy a ver si me acuerdo de la trigonometría.
Ahora falta resolverlo sin aproximaciones...
A mi me dio mucha pereza en su momento, pero ya que has resucitado el tema voy a ver si me acuerdo de la trigonometría.
Re: Ayuda en cálculo para un novato
Mensajepor Alex » 05 Nov 2012, 18:22
… estos días dan para mucho!....Rafa escribió:Ya veo que te entretienes Alex. Estas nubes....
Bueno, ten en cuenta que son aproximaciones “muy aproximadas” pero que en astronomía son perfectamente asumibles.Ahora falta resolverlo sin aproximaciones...
A mi me dio mucha pereza en su momento, pero ya que has resucitado el tema voy a ver si me acuerdo de la trigonometría.
La resolución normal es un poco mas larga… pero lo podemos hacer para ver la diferencia, pero ya te digo que será depreciable y eso que la vamos a compara con distancias cortas como es la de la Luna. Cuanto mas pequeño sea el ángulo menos significativa será la diferencia….
Para hacerlo bien, lo primero que tendremos que hacer es trabajar con mas decimales por lo que recalcularemos el diametro aparente de la luna por los dos procedimientos:
1.- Por la aproximación (a) = tg(a) tendremos que tg(a) = 3476 / 384000 = 9,05208333333E-3 = (a) en radianes. Transformando a grados (a) = 0º,518646170801
2.- Por matemática pura y dura: (pongo esquema)
Como ves 8 millonésimas de grado no es significativo. Si te vas al Parsec, practicamente lo clavas ya que estamos hablando de un angulo de UN SEGUNDO de arco. En astronomía te vale para todo! (esto es como los jarabes de hace 50 años...)
Saludos a todos!!
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Re: Ayuda en cálculo para un novato
Mensajepor Alex » 05 Nov 2012, 18:46
!!perdonad!! vaya error.... Puse el SENO como di fuese la ¡¡TANGENTE!!. Aunque esto no afecta a la resolucion del problema, no deja de ser un error imperdonable. Para ver que no afecta al problema tendriamos que ver ahora que da lo mismo tomar el Seno que la Tangente.
Vimos como el cateto distancia era igual a la hipotenusa, por lo que el COSENO de a/2 sera = 1, por tanto la TANGENTE = SENO / COSENO = SENO en este caso, por ser el COS=1.
Ahora solo falta tomar el ARCSEN en vez del ARCTG y hacer la corresponeinte transformación de radianes a grados y todavía obtenemos una diferencia ¡menor¡ concretamente 3 millonesimas de grado
Bueno saludos otra vez!
Vimos como el cateto distancia era igual a la hipotenusa, por lo que el COSENO de a/2 sera = 1, por tanto la TANGENTE = SENO / COSENO = SENO en este caso, por ser el COS=1.
Ahora solo falta tomar el ARCSEN en vez del ARCTG y hacer la corresponeinte transformación de radianes a grados y todavía obtenemos una diferencia ¡menor¡ concretamente 3 millonesimas de grado
Bueno saludos otra vez!
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Patricio Domínguez Alonso fue un paleontólogo español, gran amante de la Astronomía y Divulgador Científico.
Doctor en Ciencias Biológicas (1999) y especialista en Biología Evolutiva fue profesor de Paleontología en la Facultad de Ciencias Geológicas de la UCM. Miembro del Instituto de Geociencias (CSIC-UCM) desde su creación, estaba integrado en la línea de Investigación del Centro “Episodios críticos en la historia de la Tierra”.
Su trabajo de investigación se centró en el origen de los vertebrados, evolución temprana de aves y estudios sobre el cuaternario en el Caúcaso. Para ello desarrolló estancias de investigación en Reino Unido, Estados Unidos, Brasil, Armenia, China y Honduras (Fte. Wikipedia)
Como aficionado a la Astronomía, desde 2008 fue Presidente de la Asociación Astronómica AstroHenares y socio destacado de la Asociación Astronómica Hubble. Desde 2005 y durante 8 años fue moderador activo y permanente de este foro, convirtiéndose en el usuario más prolífico del mismo y en uno de los garantes de su buen funcionamiento.
Con el apoyo de la Asociación Hubble y la difusión del foro, organizó algunas de las reuniones de aficionados a la Astronomía más importantes de España, como la de Navas de Estena en los Montes de Toledo, conocida como “AstroArbacia”.
Podemos afirmar sin temor a equivocarnos que su pérdida inició el declive del foro allá por 2013. Por eso, tras su renovación queremos rendir homenaje desde la Asociación Hubble a su figura como aficionado a la Astronomía, como persona y como gran amigo de los administradores, moderadores y muchos de los usuarios del foro, a los que siempre ayudaba con agrado y sabiduría en multitud de temas.
Nos vemos en las estrellas, amigo
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