Cálculo superficie de una cúpula

[viguri]

Hola a todos!!

Estaba un poco aburrido y repasando el diseño de un cúpula para un observatorio se me ocurrió refrescar las matemáticas ya casi olvidadas para calcular la superficie que necesitaría tapar con aluminio para hacer la cúpula.

El radio de la cúpula (semiesfera) es de 1,5 (metros). La fórmula simplificada para calcular la superficie de una esfera es 4*pi*r^2, por lo que la semiesfera sería la mitad de esta cantidad.

Para r=1,5 sería 4*pi*1,5^2 o lo que es igual a 28,27 (recortando la cifra) dividido entre 2 nos da 14,14 aproximadamente.

Así que necesitaría 14,14 metros cuadrados de aluminio, suponiendo que fuera una semiesfera completa, pero ... no lo es, pues tenemos que quitar el espacio de la abertura para que el telescopio pueda asomarse.

Y he aquí mi duda ... ¿Cómo calculo la superficie de lo que tengo que quitar a la superficie total?

Hagan apuestas!!

[HAL9000]

Pues es bastante sencillo. Hay una manera aproximada y otra exacta.

De manera aproximada:
Si tu ventana va a tener de ancho "a", puedes aproximar la superficie de la ventana con una superficie cilíndrica y te quedaría

Longitud de la circunferencia del cilindro = 2*Pi*r = 2*3.1416*1.5 = 9.42 m
Como solo te quedas con 1/4 del cilindro:

Longitud del sector del cilindro = 1/4 * 9.42 = 2.35 m

Ahora multiplicas por el ancho de tu ventana y tienes la superficie:

Area ventana = a * 2.35 m^2

De manera exacta:
Gracias al teorema de Pappus-Guldin sabemos que el área de una superficie generada por una curva al desplazarse sobre otra curva es la longitud de la curva generadora multiplicada por la longitud de la curva que describe el centro de gravedad de la curva generadora al desplazarse sobre la segunda.

El ancho de tu ventana, medida según la secante a la circunferencia de la base de la cúpula es un dato, que en el cálculo simplificado hemos llamado "a".

Por trigonometría sacamos que el ángulo (con centro en el centro de la cúpula) que corresponde a este ancho es "alpha":

alpha=2* arcsin (a/(2*r))



Ese arco de circunferencia que abarca tu ventana será nuestra curva generadora. Para aplicar el teorema debemos conocer su centro de gravedad ("cdg").

Para conocer la posición del centro de gravedad de la curva es necesario hacer una integral:

el diferencial de longitud es:


Integrando el cdg (distancia desde el centro al centro de gravedad) a lo largo del trocito de circunferencia:


Como la curva que describe el cdg al moverse es 1/4 de circunferencia de radio el cdg que acabamos de calcular, el área te queda:

Area Ventana = r*alpha*1/4*(2*Pi*cdg)

Sustituir los valores para el ancho de la ventana que quieras es cosa tuya.

Espero que te haya servido, aunque en realida esto me parece un poco paja mental, porque vas a tener que contar con un extra de chapa en concepto de solapes entre husos, errores y equivocaciones al cortar y montar etc. Así que mi consejo es que seas generoso al comprar el aluminio.

Un saludo.

[franc]

Yo creo que lo mejor es que le quites el trozo que creas conveniente saludos

[Comiqueso]

Lo que tienes que recortar, es un rectangulo, asi que seria la superficie de ese rectangulo.

De todas formas, no te van a vender el aluminio exacto, asi que el trozo de la puerta, lo cortas, lo mides, lo superficias y listo

[denon]

Como se nota que aquí habemos-somos muchos matemáticos.

Me imagino que hablas de Hacerte tu la cúpula.
Estoy seguro de que la vas a hacer por piezas... todas ellas PLANAS que luego doblarás.

Bien, pues calcula la superficie de esas piezas, ¿triángulares? , suma las superficies y luego multiplica por los coeficientes de Murphy y de Van-Trozeando y ya sabes, un 30% más .
Y asegurarse de que en la tienda queda para ir por más cuando se acabe.

Saludos

[Comiqueso]

"los coeficientes de Murphy y de Van-Trozeando y ya sabes, un 30% más"

Ahora ya se porque me fallan siempre los cálculos. No tenia en cuenta esos coeficientes

[viguri]

Hal, muy interesante el cálculo exacto, pero no sé que variable angular es Zeta, la que incluye en la integral del cdg ...

He hecho las cuentas y no me da una cifra lógica...

A ver, para 0.7 metros de ancho de la puerta y para 1.5 metros de radio:

2*arcsin[0.7/(2*1.5)]

2 ArcSin[0.2333333333333333`]

0.4710084734415995`

0.471

Esto es Alfa

Ahora el cdg:

(1.5/0.471)*2*(sin[0.471/2])

6.36943 sin[0.2355]

sin[0.2355]=0.00411

6.36943*0.00411=0.0262

cdg=0.0262


Y, finalmente,

1.5*0.471*0.25*2*Pi*0.0262

0.0290759 m2

que no concuerda con el cálculo aproximado:

2.35*1.5=3.525 m2

qué hago mal?

[HAL9000]

Hola a todos:

no sé que variable angular es Zeta, la que incluye en la integral del cdg

Ya, se me olvidó ponerla en el dibujo.

Zeta o Theta es el ángulo recorrido para hacer la integral.

Podía haber puesto alpha, porque es ese mismo ángulo, pero es tan habitual poner theta cuando se integran magnitudes angulares que ni se me pasó por la cabeza.

Si te fijas, cunado hacemos las integrales que dependen de theta, los límites son -alpha/2 y +alpha/2. Eso es porque medimos el ángulo variable theta desde la línea roja a un lado y al otro de esta.

Un saludo.

[viguri]

He editado el mensaje anterior y añadido mis cuentas ...

[HAL9000]

Hola Viguri:

Creo que tienes la calculadora configurada en grados y tienes que tenerla en radianes.
Estos son mis calculotes:

Aproximado:
Area = 2.35 * 0.7 = 1.645 m^2

Exacto:
alpha = 2*arcsin(a/(2*r)) = 2*arcsin(0.7/(2*1.5)) = 0.4710 rad

cdg = r*2*sin(alpha/2)/alpha = 1.5*2*sin(0.4710/2)/0.4710 = 1.4861 m

Area = r*alpha*1/4*(2*Pi*cdg) = 1.5*0.4710*1/4*(2*3.1416*1.4861) = 1.649 m^2

Que parece que tiene buena pinta. Un saludo.